单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,有限元,（,FEM,）,有限元（FEM）,概述,历史,1943 Courant,最早提出思想,20,世纪,50,年代 用于飞机设计,1960 Clough,在著作中首先提出名称,19641965,年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠定其数学基础,1965,Winslow,首次应用于电气工程问题,1969 Silvester,推广应用于时谐电磁场问题,应用范围,广泛地被应用于各种结构工程,成功地用来解决其他工程领域中的问题,热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁工程问题等等,概述历史,电磁工程应用及发展,静态场时变场，闭域开域，线性非线性，散射，波导、腔体、传输线,标量有限元发展到矢量有限元,高阶矢量有限元,单一方法发展到混合方法,(,快速算法,),频域求解发展到时域求解,(,区域分解技术,),商用软件：比如,HFSS,、,ANSYS,电磁工程应用及发展,有限元思想,1,有限元法是,函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析,的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是,Rayleigh-Ritz-Galerkin,法的推广。,传统的有限元以,变分原理,为基础,变分问题就是求,泛函极值,的问题,直接解法把变分问题化为普通多元函数求极值的问题,Ritz,寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界条件的基函数,间接解法 变分原理,变分问题与对应的,边值问题等价,有限元思想1,有限元思想,2,有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径,把所要求的微分方程型数学模型,边值问题，首先转化为相应的,变分问题，即泛函求极值问题,；然后利用,剖分插值,，离散化变分问题为普通,多元函数的极值问题,，即最终归结为,一组多元的代数方程组,，解之即得待求边值问题的数值解。,有限元思想2,有限元思想,3,有限元法的核心在于,剖分插值,，它是将所研究的,连续场分割为有限个单元,，用比较简单的,插值函数,来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。,有限元思想3,有限元思想,4,由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为,自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足,，也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的构造。,有限元思想4,有限元法主要特点,1,离散化过程保持了明显的,物理意义,。因为,变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理,（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。因此，基于,问题固有的物理特性,而予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。,有限元法主要特点1,有限元法主要特点,2,优异的解题能力,。与其他数值方法相比较，有限元法在,适应场域边界几何形状,以及,媒质物理性质变异,情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意，通过控制,有限单元剖分密度和单元插值函数,的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。,有限元法主要特点2,有限元法主要特点,3,可方便地编写,通用计算程序,，使之构成模块化的子程序集合。容易,并行,。,从,数学理论,意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了,泛函分析与计算方法,的发展。,有限元法主要特点3,&3.1,变分原理与尤拉方程,在微积分学形成的初期，以数学物理问题为背景，与,多元函数的极值问题,相对应，就已经在几何、力学上提出了,若干求解泛函极值,的问题。,例如最速降线问题，即在于研究当质点从定点,A,自由下滑到定点,B,时，为使滑行,时间最短,，试求指点应延着怎样形状的光滑,轨道,下滑。,&3.1变分原理与尤拉方程在微积分学形成的初期，以数学物理问,dx,ds,A(,x,1,y,1,),B(,x,2,y,2,),x,y,O,沿曲线滑行弧线所需时间为,滑行总时间为,dxdsA(x1, y1)B(x2, y2)xyO沿曲线滑行,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,泛函的极值（,max,或,min,）问题就称为变分问题。,对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量 、,单个函数,及其导数,的已知函数,函数族,仅有一个,能使定积分,达到极小值,泛函的极值（max或min）问题就称为变分问题。 对一般问题,间接解法,是将变分问题转化为,尤拉方程,（微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。,称之为,的,变分,，它反映了,整个函数的变化量,相应于变分,的泛函增量为,间接解法是将变分问题转化为尤拉方程称之为的变分，它反映了整个,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,任意给定的微量实参数,满足,齐次边界条件的可微函数,极值,任意给定的微量实参数 满足齐次边界条件的可微函数 极值,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,简写为,只差一个数值因子,极值函数解,必须满足的必要条件,等同于,简写为 只差一个数值因子 极值函数解必须满足的必要条件等同于,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,泛函,的极值问题的,尤拉方程,泛函的极值问题的尤拉方程,简单函数,简单泛函,自变量的微分,表示自变量值的微小变化,函数变分 表示函数形式的微小变化，其中 是正的任意给定的常数， 为可取函数,引起的函数值变化可利用,Taylor,级数展开,函数增量的线性部分,函数的一阶微分简称微分,函数的,n,阶微分表示为,引起的泛函值的变化可展开为,定义：泛函的一阶变分简称变分，是泛函增量的线性主部,同样有二阶直到,n,阶变分,简单函数简单泛函自变量的微分 表示自变量值的微小变化函数变,简单函数,简单泛函,自变量在 上变化时，函数有极大和极小点。,极大点 取极大值,（在 领域）,极小点 取极小值,（在 领域）,取极值条件：一阶微分为零， 的解,用二阶微分可以判断该点为极大,（ ），极小（ ），,还是拐点,函数定义空间变化时（曲线簇）使值域数值为极大和极小,极大曲线 是泛函 极大,极小曲线 是泛函 极小,泛函极值条件为一阶变分为零：,的解,用泛函二阶变分判断极值点的特性：,简单函数简单泛函自变量在 上变化时，函数有,泛函的极值,问题就称为,变分问题,变分问题与边值问题,等价,有限元正是间接求解变分问题过程的,逆,过程,泛函取极值的过程中,第二、第三类边界条件为,自然边界条件,无条件变分问题,第一类边界条件为,强加边界条件,条件变分,泛函的极值问题就称为变分问题,&3.2,与线性问题等价的变分问题,与齐次边值问题等价的变分问题,&3.2与线性问题等价的变分问题与齐次边值问题等价的变分问题,与泊松方程齐次第三类边值问题等价的变分问题,与泊松方程齐次第二类边值问题等价的变分问题,与泊松方程齐次第三类边值问题等价的变分问题,与泊松方程齐次第一类边值问题等价的变分问题,混合型边界条件,与泊松方程齐次第一类边值问题等价的变分问题,与非齐次边值问题等价的变分问题,与泊松方程非齐次第三类边值问题等价的变分问题,与非齐次边值问题等价的变分问题,与泊松方程非齐次第二类边值问题等价的变分问题,与泊松方程非齐次混合型边值问题,与泊松方程非齐次第二类边值问题等价的变分问题,二维问题,体积分变成面积分，面积分变成线积分,轴对称场,分层介质中的变分问题,变为问题中，由于介质分界面上的边界条件为齐次自然边界条件，所以泛函取极值时自动满足，不必另行处理。,二维问题,半线系统,无遗漏、无多余的覆盖,&3.3,基于变分原理的差分方程,半线系统 &3.3基于变分原理的差分方程,梯形积分公式,线性,Lagrange,插值公式,梯形公式,梯形积分公式线性Lagrange插值公式梯形公式,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,当（,i,，,j,）为内点,右边点而非角点,上边点而非角点（,i,，,N,）,角点（,M,，,N,）,当（i，j）为内点 右边点而非角点 上边点而非角点（i，N）,&3.4,有限元法求解,给出与待求边值问题相应的,泛函及其等价变分问题,应用,有限单元剖分场区域，,并选取,相应的插值函数,将,变分问题离散化为一个多元函数的极值,问题，导出一组联立的代数方程,单元分析,/,总体合成,/,强加边界条件处理,选择,适当的代数解法，解有限元方程,，即得待求边值问题的近似解（数值解）,检验（附加计算）,&3.4有限元法求解给出与待求边值问题相应的泛函及其等价变分,任务,离散化,方式,场域或物体分为有限个子域，如：三角形、四边形、四面体、六面体等,内容,单元数量、大小、排列,任务,选择插值函数,方式,选择插值函数的类型，如多项式，用节点（图形顶点）的场值求取子域中各点的场的近似值。一般用多项式，其次数与节点数有关,内容,插值函数、形式、次数,任务离散化方式场域或物体分为有限个子域，如：三角形、四边形、,任务,建立单元特征式,（单元分析）,方式,推导单元系数矩阵、取决于插值函数、单元几何形状、单元材质。相应的变分问题,内容,找到对应的变分问题，将已知插值函数进行微分、积分运算。整理出单元形函数，单元系数矩阵,任务,建立系统有限元,（总体合成）,方式,把单元特征式采用简单处理方法加以合并，然后表示出整域上的线性方程组，节点互联处的场值相同，一般此过程由计算机自动完成,内容,有限元方程,任务建立单元特征式（单元分析）方式推导单元系数矩阵、取决于插,任务,求解有限元方程,方式,考虑边界条件并修改上一步得到的方程，采用适当的方法求解线性方程组，求得节点处未知场的数值。再由插值函数求域中任一点的值,内容,任一点的场值,任务,附加计算,方式,由场值求取其他关心的重要参数，如电荷分布，电流分布、电压分布等。可由相应的物理规律，经离散化处理后，得到各单元的相应表达式,内容,关心的其他物理量的值,任务求解有限元方程方式考虑边界条件并修改上一步得到的方程，采,&3.4.1,场域剖分,区域离散的方式将,影响,计算机,内存需求,、,计算时间,和数值结果的,精确度,一维区域,短直线段,二维区域,小三角形或矩形,三维区域,四面体、三棱柱或矩形块,&3.4.1场域剖分 区域离散的方式将影响计算机内存需求、计,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,划分单元的基本原则,总原则,在满足精度要求的前提下，尽量减少剖分单元数目以节省存储量和计算时间,其他,需要详尽了解的部位要切分得细小，其他部位可以粗糙一些，几何形状变化剧烈的地方电磁场也变化大，单元要细小一些,所有单元应,接近等边三角形,当有,曲线边界和复杂形状边界,时就需要把复杂形状用标准形状来逼近,节点、分割线或分割面,应,设置,在几何形状和介质形状发生,突变处,划分单元的基本原则,注意事项,各单元只能在顶点处相交,不同单元在边界处相连，既不能相互分离又不能相互重叠,注意事项 ,单元、节点编号,单元编号,、,全局节点编号,、,局部节点编号,单元编号,用一组整数给单元编号,没有特殊要求，只要方便,一般按内部单元、第一类、第二类边界条件单元的顺序进行,节点编号,完整描述应包括它的,坐标值、局部编号和全局编码,局部编号表示它在单元中的位置,：,逆时针方向,用两组整数编号,单元、节点编号,引入,3M,的整型数组,节点的局部编号,单元编号,节点全局编号,1,2,4,1,2,5,4,2,3,3,5,2,4,5,6,4,引入3M的整型数组 节点的局部编号 单元编号 节点全局编号,&3.4.2,分片插值与形状函数,插值,用一个简单函数去近似代替真实函数，二者在某些积分点上具有相同的函数值甚至直到某阶导数值,插值函数,:,一阶（线性）、二阶（二次）、或高阶多项式,&3.4.2分片插值与形状函数 插值,:,待定系数,: P,点的插值函数,（也称为展开函数或基函数），,通常代表了有限单元上,用来逼近带求场分布的近似规律,它们只有在单元,e,内才不为零，而在单元,e,外均为零,形状函数,基函数与单元的形状尺寸有关,: 待定系数 : P点的插值函数它们只有在单元e内才不为,线性三角形单元,单元剖分得足够小，以致可将其上的场量看作不变,三角形单元节点数与插值函数的待定系数的个数相等。,线性三角形单元三角形单元节点数与插值函数的待定系数的个数相等,三角元,e,上的线性插值基函数,三角元e上的线性插值基函数,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,的几何意义,形状函数,表示以,为一顶点，,为对边的三角形面积与三角形单元面积之比。,的几何意义 形状函数 表示以 为一顶点， 为对边的三角形面积,形状函数性质,观察点,位于第,个节点的对边上时，,为零,保证了单元两侧解的连续性,形状函数性质 观察点位于第个节点的对边上时，为零 保证了单元,&3.4.3,有限元方程建立,齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程,静电场的边值问题,二维直角坐标系,&3.4.3 有限元方程建立 齐次自然边界条件下拉氏方程的有,用三角形剖分，得到,E,个单元，个节点，每个单元上的能量泛函为,处理过程与变分原理导出的差分法有什么异同呢？,用三角形剖分，得到E个单元，个节点，每个单元上的能量泛函为,单元分析,单元分析,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,不是坐标,x,，,y,的函数，,而是单元上的节点位置（已知数值）及其场量的函数,单元上的泛函表达式,单元的系数矩阵，它只与剖分有关，而非,x,，,y,的函数,不是坐标x，y的函数，单元上的泛函表达式 单元的系数矩阵，它,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,总体合成,迭加：交汇于同一节点的单元泛函方程,对称矩阵,组合时，将各单元系数矩阵扩展为,阶方阵，直接相加,总体合成迭加：交汇于同一节点的单元泛函方程 对称矩阵 组合,例：如何由单元矩阵组合成总体矩阵,例：如何由单元矩阵组合成总体矩阵,所对应的等价变分问题为,所对应的等价变分问题为,节点总体编号,1,2,3,4,5,6,x,0,0,2,2,4,4,y,0,2,0,2,0,2,节点局,部编号,i,j,m,1,3,2,3,4,2,3,5,4,5,6,4,单元,号,节点总体,编号,节点总体编号123456x002244y020202,对于对角元素,有贡献的只有以,为共同顶点的单元,对非对角元素,有贡献的只是以,为公共边的单元,零元素由不在一个单元、不相干的节点产生,对于对角元素 有贡献的只有以 为共同顶点的单元 对非对角元素,对称,主对角线元素占优，正定,稀疏,带状,对称 主对角线元素占优，正定 稀疏 带状,减小系数矩阵的最大半带宽,取决于场域上单元任二节点,总体编号的最大差值,D,减小系数矩阵的最大半带宽 取决于场域上单元任二节点,先选与其他节点联系最少的节点作为起始节点，然后将相邻节点编为紧接着的号数，使相邻节点的编号数均为相差不多的数,节点全局编号的顺序,先选与其他节点联系最少的节点作为起始节点，然后将相邻节点编为,D=2,，,B=3,D=3,，,B=4,一般沿场域的窄边（节点数少的）编号,需占内存数,6*3=18,6*4=24,D=2，B=3 D=3，B=4 一般沿场域的窄边（节点数少的,非齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程,二维直角坐标系,非齐次自然边界条件下拉氏方程的有限元方程二维直角坐标系,由非齐次自然边界条件引起,由非齐次自然边界条件引起,剖分时应尽量使场域边界分段线性化,应先编不含非齐次边界条件的单元，再编含非齐次边界条件的单元,应先编不含非齐次边界条件的节点,1,，,2,，,N,，,再编含非齐次边界条件节点,N+1,，,N+2,，,。,剖分时应尽量使场域边界分段线性化 应先编不含非齐次边界条件的,将正对着边界的那个三角形单元顶点编为,i,jm,的长度为,边上任一点到,j,点的距离为,，该点上的电位为,将正对着边界的那个三角形单元顶点编为i jm的长度为边上任一,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,写为矩阵形式,由 引起,由 引起,写为矩阵形式 由 引起由 引起,的值只和与它相联系的节点有关,的值只和与它相联系的节点有关,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,齐次自然边界条件下泊松方程的有限元方程,静电场的边值问题,二维直角坐标系,齐次自然边界条件下泊松方程的有限元方程静电场的边值问题 二维,由密度 引起,三角元剖分,由密度 引起 三角元剖分,剖分的三角元面积,较小,提出积分号外,近似为常量,剖分的三角元面积 较小 提出积分号外 近似为常量,积分,x-y,平面,平面,积分 x-y平面 平面,由二重积分的变换式,雅克比式，得到面积元素变换式为,由二重积分的变换式雅克比式，得到面积元素变换式为,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,为,N,阶列阵,完全由场域内的电荷密度分布引起,为N阶列阵 完全由场域内的电荷密度分布引起,非齐次自然边界条件下泊松方程的有限元方程,二维直角坐标系,非齐次自然边界条件下泊松方程的有限元方程二维直角坐标系,非齐次边界条件的边界单元才存在,非齐次边界条件的边界单元才存在,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,&3.4.3,有限元方程的计算,迭代法,系数矩阵正定,迭代法收敛,非齐次边界条件下的拉氏方程的有限元方程式,&3.4.3有限元方程的计算 迭代法系数矩阵正定 迭代法收敛,任一节点,i,的第,n+1,次场值的,GS,迭代公式,非齐次自然边界条件的节点编号为,其他节点编为,SOR,迭代格式,任一节点i的第n+1次场值的GS迭代公式 非齐次自然边界条件,强加边界条件的处理,设第,m,个节点上具有强加边界条件,=1,=0,强加边界条件的处理 设第m个节点上具有强加边界条件 =1=0,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,处理强加边界条件小结,将对角线元素 置,1,该行的右端项改为强加电位值,第,m,行与,m,列的其他元素全部置零,除第,m,行外，其他各行右端项为原右端项减去强加电位置 与对应第,m,列未变换前的系数的乘积,若强加边界条件节点共有,N0,个，则如法处理,N0,次,N,阶方阵,与强加边界节点电位值及有关量组成的列阵,处理强加边界条件小结若强加边界条件节点共有N0个，则如法处理,系数矩阵的存储,利用其对称性,、,稀疏性,等带宽存储,系数矩阵的存储等带宽存储,变带宽存储,具体作法,将,K,矩阵的下三角部分,带内元素,按,行,的,顺序,，,从各行的第一个非零元素起，,至主对角元素（包括带内的零元素及对角元素）为止的元素,（共有,MD+1,），依次,存入一维数组,KL(n),中,变带宽存储 具体作法 将K矩阵的下三角部分带内元素按行的,说明,KL(n),数组中各元素在原矩阵,K,中的行、列位置,指针,数组,L(n),存储原,K,阵中主对角元素,在,KL(n),中的位置,说明KL(n)数组中各元素在原矩阵K中的行、列位置 指针,需要计算的量,K,的下三角阵各行的半带宽,MD,第,i,行的半带宽,MD=i-min(j),主对角元素在,KL(n),的地址,JO,JO=L(i)=L(i-1)+MD+1,非主对角元素在,KL(n),的地址,JO,JO=L(i)-(i-j),非主对角元素的地址为该行主对角元素的地址向前推移,(i-j),个位置,所有以节点,i,为顶点的各单元上节点总体编号的最小值,前一行主对角元的地址,需要计算的量所有以节点i为顶点的各单元上节点总体编号的最小值,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,行号,i,MD,在,KL(n),中,位置（即,L(n),值）,在,KL(n),中位置,第一行,1,第二行,1,3,的,JO,2,第三行,2,6,的,JO,4,的,JO,5,第四行,2,9,的,JO,7,的,JO,8,第五行,2,12,的,JO,10,的,JO,11,第六行,3,16,的,JO,13,的,JO,14,的,JO,15,K,阵中各元素在一维数组,KL(n),中的位置为,KL(1),KL(2),KL(3),KL(4),KL(5),KL(6),KL(7),KL(8),KL(9),KL(10),KL(11),KL(12),KL(13),KL(14),KL(15),KL(16),行号iMD在KL(n)中在KL(n)第一行1第二行13的JO,高斯消元法求解线性代数方程组,消元,将原方程的系数矩阵化为对角元素为,1,的上三角阵,回代,从最末一个方程（只包含一个未知数）求出一个未知数，再代入上一个方程，求出另一个未知数,高斯消元法求解线性代数方程组,消元公式,第一个方程的系数,及右端项的处理,回代公式,消元公式第一个方程的系数回代公式,电场强度的计算,一单元中,E,的数值解,与坐标,x,、,y,无关，,仅与单元节点的坐标,及电位有关,电场强度的计算一单元中E与坐标x、y无关，,单元的节点一般与相邻几个单元相联系,节点场强必须将有关单元对场强综合贡献,分别总和有关单元的,，然后取算术平均值,单元的节点一般与相邻几个单元相联系 节点场强必须将有关单元对,分别将有关单元的,加权后总和，以单元面积,为权因子，然后取其平均值,场强的方向,剖分细,对称,分界面处细剖分,高精度：,分别将有关单元的 加权后总和，以单元面积 为权因子，然后取其,例,1,：计算方同轴线间的电位分布,边值问题,等价变分问题,有限元方程,&3.5,应用举例,例1：计算方同轴线间的电位分布边值问题等价变分问题有限元方程,每个单元的三个顶点编号,每个顶点的,xy,坐标,内边界节点编号,边界,外边界节点编号,节点总数、单元总数,1,、将几何信息读入代码,每个单元的三个顶点编号每个顶点的xy坐标内边界节点编号边界,2,、计算总体系数矩阵,K,计算每个三角形单元的矩阵系数（子程序）,计算三角形单元总面积,计算中间矩阵,Se,单个三角形单元的矩阵系数合成总体系数矩阵,3,、处理强加边界条件,找到内、外边界节点，为其电位赋值,节点编号，重新排序,4,、求解有限元方程,2、计算总体系数矩阵K计算每个三角形单元的矩阵系数（子程序）,例,2,：波导场的有限元解,用有限元法求解的优越,将截面逐步细分，将导致本征值向极限单调减小,可保证有一个更快的收敛速度趋于本征值,对难处理的边界形状更容易处理，而不导致非对称矩阵,波导中的奇点无需特别处理,例2：波导场的有限元解用有限元法求解的优越,假设,波导壁为完纯导体,波导内的介质系均匀、线性且各向同性的理想介质,波导中无自由电荷和传导电流,波导工作在匹配状态，具有均匀截面，所以在分析时只考虑入射波，无反射波,假设,波导中传播的电磁波可分为,TE,波,或,TM,波,求解相应的场纵向分量所描述的定解问题,波导中传播的电磁波可分为TE波或TM波 求解相应的场纵向分量,TE,TM,TE TM,选取矩形波导,BJ-100,中,TE,波的截止波长,的分布问题进行分析,三角剖分、三节点插值,选取矩形波导BJ-100 中TE波的截止波长 的分布问题进行,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,电磁场数值方法电子教案：有限元(FEM)课件,对称阵,对称正定阵,（广义代数特征值问题）,对称阵,的特征值问题,对称阵 对称正定阵 （广义代数特征值问题） 对称阵 的特征值,平方根法,下三角阵,平方根法 下三角阵,利用豪斯豪尔法,：对称三角矩阵,经过多次相似变换,满足指定精度的对角阵,对角阵的每个元素就是其特征值,反变换,求得的一系列特征值中非负的,最小非零,特征值,就给出相应波导中最低型（主模）的截止波长,利用豪斯豪尔法 ：对称三角矩阵 经过多次相似变换 满足指定精,截,止,波,长,理论值,相对误差,波型,(cm),数值解,TE,10,4.572,4.512,4.569,4.574,0.066,TE,20,2.286,2.193,2.262,2.275,1.05,TE,01,2.032,1.847,1.979,2.61,TE,11,1.857,1.635,1.790,3.61,TE,30,1.524,1.410,1.488,2.36,TE,21,1.519,1.250,1.440,5.20,TE,31,1.219,1.021,1.141,6.40,TE,40,1.143,0.943,1.093,4.37,TE,02,1.016,0.922,0.923,9.15,TE,41,0.996,0.859,0.916,8.03,TE,22,0.928,0.795,0.891,3.99,截 止 波 长理论值相对误差波型(cm)数值解TE104.5,