单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量在立体几何,中的应用,空间向量在立体几何,返回目录,1.,平面的法向量,直线,l,，取直线,l,的,，则,叫做平面,的法向量,.,2.,直线,l,的方向向量是,u=(a,1,b,1,c,1,),，平面,的法向,量,v=(a,2,b,2,c,2,),则,l,.,方向向量,a,向量,a,uv=0,a,1,a,2,+b,1,b,2,+c,1,c,2,=0,考点分析,返回目录 1.平面的法向量方向向量a 向量a,返回目录,3.,设直线,l,的方向向量是,u=(a,1,b,1,c,1,),，平面,的法向量,v=(a,2,b,2,c,2,),则,l,.,若平面,的法向量,u=(a,1,b,1,c,1,),，平面,的法向量,v=(a,2,b,2,c,2,),，则,.,4.,空间的角,(1),若异面直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,u,1,和,u,2,，,l,1,与,l,2,所成的角为,，则,cos=,.,uv,(a,1,b,1,c,1,)=k(a,2,b,2,c,2,),a,1,=ka,2,b,1,=kb,2,c,1,=kc,2,uv=0,uv,a,1,a,2,+b,1,b,2,+c,1,c,2,=0,|cos|,返回目录 3.设直线l的方向向量是u=(a,(2),已知直线,l,的方向向量为,v,平面,的法向量为,u,l,与,的夹角为,，则,sin=,.,(3),已知二面角,l,的两个面,和,的法向量分别为,v,u,则,与该二面角,.,5.,空间的距离,(1),一个点到它在一个平面内,的距离，叫做点到这个平面的距离,.,(2),已知直线,l,平行平面,，则,l,上任一点到,的距离都,，且叫做,l,到,的距离,.,返回目录,|cos|,相等或互补,正射影,相等,(2)已知直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,(3),和两个平行平面同时,的直线，叫做两个平面的公垂线,.,公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的,.,两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的,叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离,.,(4),若平面,的一个,为,m,，,P,是,外一,点，,A,是,内任一点，则点,P,到,的距离,d=,.,返回目录,垂直,公垂线段,长度,法向量,(3)和两个平行平面同时,返回目录,例,1,如图，在四棱锥,PABCD,中，,PA,平面,ABCD,，底面,ABCD,为矩形，且,PA=AD,，,E,F,分别为线段,AB,PD,的中点,.,求证：,(1)AF,平面,PEC;,(2)AF,平面,PCD.,考点一 用向量证明平行、垂直问题,题型分析,返回目录 例1 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面,返回目录,【,证明,】,以,A,为原点，,AB,AD,AP,分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，如图所示,.,设,AB=a,PA=AD=1,则,P(0,0,1),C(a,1,0),E(,0,0),D(0,1,0),F(0,).,(1)AF=(0,),EP=(-,0,1),EC=(,1,0),AF=EP+EC,又,AF,平面,PEC,AF,平面,PEC.,【,分析,】,可用空间向量的坐标运算来证明,.,返回目录【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y,返回目录,【,评析,】,用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在的基线不在平面内,.,(2)PD=,（,0,1,-1,）,CD=(-a,0,0),AFPD=(0,)(0,1,-1)=0,AFCD=(0,)(-a,0,0)=0,AFPD,AFCD,，又,PDCD=D,AF,平面,PCD.,返回目录 【评析】用向量证明线面平行时，最后应说,对应演练,如图,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,M,分别为棱,BB,1,CD,AA,1,的中点,.,证明：,(1)C,1,M,平面,ADE,；,(2),平面,ADE,平面,A,1,D,1,F.,返回目录,对应演练如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,（,1,）以,D,为原点，,DA,DC,DD,1,分别为,x,轴，,y,轴,z,轴建立坐标系如图，设正方体的棱长为,1.,则,DA=(1,0,0),DE=(1,1,),C,1,M=(1,-1,-).,设平面,ADE,的法向量为,m=(a,b,c),则,mDA=0 a=0,mDE=0 a+b+c=0.,令,c=2,，得,m=(0,-1,2).,mC,1,M=(0,-1,2)(1,-1,-),=0+1-1=0,C,1,Mm.,又,C,1,M,平面,ADE,C,1,M,平面,ADE.,返回目录,（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建,(2)D,1,A,1,=(1,0,0),D,1,F=(0,-1),设平面,A,1,D,1,F,的法向量为,n=(x,y,z),则,nD,1,A,1,=0 x=0,nD,1,F=0 y-z=0.,令,y=2,，则,n=(0,2,1).,mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0,mn.,平面,ADE,平面,A,1,D,1,F.,返回目录,(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,-,返回目录,例,2,如图所示，已知点,P,在正方体,ABCD-ABCD,的对角线,BD,上，,PDA=60.,(1),求,DP,与,CC,所成角的大小；,(2),求,DP,与平面,AA DD,所成角的大小,【,分析,】,建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解,.,考点二 用向量求线线角与线面角,返回目录 例2 如图所示，已知点P在正方体ABCD-A,返回目录,【,解析,】,如图所示，以,D,为原点，,DA,为单位长度建立空间直角坐标系,Dxyz.,则,DA=(1,0,0),CC=(0,0,1).,连接,BD,，,BD.,在平面,BBDD,中，,延长,DP,交,BD,于,H.,设,DH=,（,m,，,m,，,1,）（,m,0,）,由已知,=60,由,DADH=|DA|DH|cos,可得,2m=.,解得,m=,，所以,DH=,（，,1,）,.,返回目录 【解析】如图所示，以D为原点，DA为单,返回目录,（,1,）因为,cos=,所以,=45,即,DP,与,CC,所成的角为,45.,（,2,）平面,AADD,的一个法向量,DC=(0,1,0).,因为,cos=,所以,=60,可得,DP,与平面,AADD,所成的角为,30.,返回目录（1）因为cos=,【,评析,】,（,1,）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系,.,（,2,）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系,.,返回目录,【评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所,返回目录,对应演练,如图，四棱锥,PABCD,中，底面,ABCD,为矩形，,PD,底面,ABCD,，,AD=PD,，,E,F,分别为,CD,PB,的中点,.,(1),求证：,EF,平面,PAB;,(2),设,AB=BC,，求,AC,与平面,AEF,所成角的大小,.,返回目录 对应演练如图，四棱锥PABCD中，底面ABC,（,1,）证明：以,D,为原点，,DC,DA,DP,的方向分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴的正方向建立空间直角坐标系,.,设,PD=1,AB=a,，则,C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E,（,0,0,）,B(a,1,0),F,（,）,.,EF=,（,0,）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1).,EFAB=0,EFPA=0.,EFAB,EFPA,返回目录,EF,平面,PAB.,（1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴，y,返回目录,(2)AB=BC,a=.,从而,AC=(,-1,0),，,AE=,（,-1,0,）,EF=,（,0,）,.,设平面,AEF,的法向量为,n=(x,y,z),则,nAE=0 x-y=0,nEF=0 y+z=0.,令,x=,则,y=1,z=-1,平面,AEF,的一个法向量为,n=(2,1,-1).,设,AC,与平面,AEF,所成角为,则,sin=|cos|=.,AC,与平面,AEF,所成角为,arcsin .,返回目录(2)AB=BC,a=,返回目录,例,3,如图，在正四棱柱,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,=AB,，点,E,M,分别图为,A,1,B,C,1,C,的中点，过,A,1,B,M,三点的平面,A,1,BMN,交,C,1,D,1,于点,N.,(1),求证,:EM,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,;,(2),求二面角,BA,1,NB,1,的正切值,.,【,分析,】,建立空间直角坐标系求之比较简单,.,考点三 用向量求二面角,返回目录 例3 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D,返回目录,【,解析,】,(1),证明,:,建立图所示空间直角坐标系,设,AB=2a,AA,1,=a(a,0),，则,A,1,(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C,1,(0,2a,a).,E,为,A,1,B,的中点，,M,为,CC,1,的中点,E,（,2a,a,）,M,（,0,2a,）,.,EM=(-2a,a,0).,EM,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,.,返回目录【解析】(1)证明:建立图所示空间直角坐标系,设,(2),设平面,A,1,BM,的法向量为,n=(x,y,z).,A,1,B=(0,2a,-a),BM=,（,-2a,0,）,由,nA,1,B,nBM,，,2ay-az=0,x=,-2ax+=0.y=.,令,z=a,则,n=,（,a,）,.,而平面,A,1,B,1,C,1,D,1,的法向量为,n=(0,0,1),，设二面角为,，则,cos=,又二面角为锐二面角,cos=,从而,tan=.,即二面角,BA,1,NB,1,的正切值为,.,得,返回目录,(2)设平面A1BM的法向量为n=(x,y,z).得返回目,返回目录,【,评析,】,第,(2),问如果直接作二面角的平面角很复杂，采用法向量起到了化繁为简的作用,.,这种求二面角的方法应引起我们重视,.,需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围,.,返回目录 【评析】第(2)问如果直接作二面角的,返回目录,对应演练,三棱锥被平行于底面,ABC,的平面,所截得的几何体如图所示，截面,为,A,1,B,1,C,1,，,BAC=90,A,1,A,平面,ABC,，,A,1,A=,，,AB=,，,AC=2,，,A,1,C,1,=1,，,（,1,）证明：平面,A,1,AD,平面,BCC,1,B,1,；（,2,）求二面角,ACC,1,B,的大小,.,返回目录 对应演练三棱锥被平行于底面ABC的平面,（,1,）如图，建立空间直角坐标系，则,A,（,0,，,0,，,0,），,B,（，,0,，,0,），,C,（,0,，,2,，,0,），,A,1,（,0,，,0,，），,C,1,（,0,，,1,，），,BD,：,DC=1,：,2,，,BD=BC,D,点坐标为（，,0,）,.,AD=,（，,0,），,BC=,（,-,，,2,，,0,），,AA,1,=(0,0,),BCAA,1,=0,，,BCAD=0,，,BCAA,1,，,BCAD,，,又,A,1,AAD=A,BC,平面,A,1,AD,，,又,BC,平面,BCC,1,B,1,，平面,A,1,AD,平面,BCC,1,B,1,.,返回目录,（1）如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），,（,2,）,BA,平面,ACC,1,A,1,，取,m=AB=,（，,0,，,0,）为平面,ACC,1,A,1,的一个法向量，设平面,BCC,1,B,1,的一个法向量为,n=,（,l,，,m,，,n,），则,BCn=0,，,CC,1,n