单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 直角三角形的性质和判定,1.1,直角三角形的性质和判定（,）,第,1,章 直角三角形,导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 直角三角形的性质,1.,了解直角三角形两个锐角的关系,.,（重点）,学习目标,2.,掌握,直角三角形的判定及推论,.,（难点）,3.,会运用,直角三角形的性质和判定进行相关计算,.,（难点）,1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）学习目标2.掌握直,导入新课,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结,.,可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了,”“,为什么？”老二很纳闷,.,你知道其中的道理吗？,内角三兄弟之争,情境引入,导入新课 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三,老大的度数为,90,，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于,90,，而三角形的内角和为,180,，相互矛盾，因而是不可能的,.,在这个家里，我是永远的老大,.,老大的度数为90，老二若是比老大的度数大，那么老二,问题,1,：,如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度,?,30,+60,=,90,45,+45,=,90,讲授新课,直角三角形的两个锐角互余,一,问题引导,问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少,问题,2,：,如图，在Rt,ABC,中，,C,=90,，,两锐角的和等于多少呢？,在Rt,ABC,中，因为,C,=90,，,由三角形内角和定理,，,得,A,+,B,+,C,=90,即,A,+,B,=90,.,思考：,由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？,问题2：如图，在RtABC中，C=90，两锐角的和等,A,B,C,直角三角形的两个锐角互余,应用格式：,在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,A,+,B,=90,直角三角形的表示：,直角三角形可以用符号“,Rt,”,表示，直角三角形,ABC,可以写成,Rt,ABC,总结归纳,ABC直角三角形的两个锐角互余应用格式：直角三角形的表,方法一（利用平行的判定和性质）：,B,=,C,=90，,AB,CD,，,A,=,D,.,方法二（利用直角三角形的性质）：,B,=,C,=90，,A,+,AOB,=90，,D,+,COD,=90,.,AOB,=,COD，,A,=,D,.,例,1,（,1,）如图,，,B,=,C,=90,，,AD,交,BC,于点,O,，,A,与,D,有什么关系？,图,典例精析,方法一（利用平行的判定和性质）：例1（1）如图，B=C,解：,A,=,C.,理由如下：,B,=,D,=90，,A,+,AOB,=90，,C,+,COD,=90,.,AOB,=,COD，,A,=,C.,（,2,）如图,，,B,=,D,=90,，,AD,交,BC,于点,O,，,A,与,C,有什么关系？请说明理由,.,图,与图,有哪些共同点与不同点？,解：A=C.理由如下：（2）如图，B=D=90，,例,2,如图，,C,=,D,=90,AD,BC,相交于点,E,.,CAE,与,DBE,有什么关系？为什么？,A,B,C,D,E,解：在,Rt,ACE,中，,CAE,=90-,AEC.,在,Rt,BDE,中,DBE,=90-,BED.,AEC,=,BED,，,CAE,=,DBE,.,例2 如图，C=D=90,AD,BC相交于点E.,解：,CD,AB,于点,D,，,BE,AC,于点,E,，,BEA,=,BDF,=90，,ABE,+,A,=90，,ABE,+,DFB,=90,.,A,=,DFB,.,DFB,+,BFC,=,18,0，,A,+,BFC,=,18,0,.,【变式题】,如图，,ABC,中，,CD,AB,于,D,，,BE,AC,于,E,，,CD,，,BE,相交于,点,F,，,A,与,BFC,又有什么关系？,为什么？,解：CDAB于点D，BEAC于点E，【变式题】如图，,思考：,通过前面的例题，,你能画出这些题型的基本,图形吗？,基本图形,A,=,C,A,=,D,总结归纳,思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本基本图形A=,问题：,有两个角互余的三角形是直角三角形吗？,如图，在,ABC,中，,A,+,B,=90,，那么,ABC,是直角三角形吗？,在,ABC,中，因为,A,+,B,+,C,=180,，又,A,+,B,=90,，所以,C,=90,.于是,ABC,是直角三角形.,有两个角互余的三角形是直角三角形,二,问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在ABC,A,B,C,应用格式：,在,ABC,中，,A,+,B,=90,，,ABC,是直角三角形,有两个角互余的三角形是直角三角形,.,总结归纳,ABC应用格式：有两个角互余的三角形是直角三角形.总结归,典例精析,例,3,如图，,C,=90,1=2,，,ADE,是直角三,角形吗？为什么？,A,C,B,D,E,(,(,1,2,解：在,Rt,ABC,中，,2+,A,=90.,1=2,1+,A,=90.,即,ADE,是直角三角形,.,典例精析例3 如图，C=90,1=2，A,例,4,如图，,CE,AD,，垂足为,E,，,A,=,C,，,ABD,是,直角三角形吗？为什么？,解：,ABD,是直角三角形,.,理由如下：,CE,AD,，,CED,=90，,C,+,D,=90，,A,=,C,，,A,+,D,=90，,ABD,是直角三角形,.,例4 如图，CEAD，垂足为E，A=C，ABD是解,问题：,如图，画一个Rt,ABC,，并作出斜边,AB,上的中线,CD,，比较线段,CD,与线段,AB,之间的数量关系，你能得出什么结论？,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,三,问题：如图，画一个RtABC，并作出斜边AB上的中线,我测量后发现,CD=AB,.,线段,CD,比线段,AB,短,.,猜想：,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,试给出数学证明,.,我测量后发现线段CD 比线段AB短.猜想：直角三角形斜边上的,图,1-4,如图1-3，如果中线,CD=AB,，则有,DC,A,=,A,.,由此受到启发，在图1-4,的Rt,ABC,中，过直角顶点,C,作射线,交,AB,于 ，使 ，,=,A,则,.,图,1-3,证一证,图1-4 如图1-3，如果中线CD=,点,D,是斜边上的中点，即,CD,是斜边,AB,的中线,.,A,+,B,=90,，,又,，,故得,从而,CD,与,CD,重合，且,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,性质,点D是斜边上的中点，即CD 是斜边AB的中线.A,例,5,已知：如图，,CD,是,ABC,的,AB,边上的中线，且,.,求证：,ABC,是直角三角形,.,证明：,1=,A,，,2=,B,.,A,+,B,+,ACB,=180,，,即,A+,B,+,1+,2=180,，,2,(,A,+,B,),=180,.,A+,B,=90,.,ABC,是直角三角形.,例5 已知：如图，CD是ABC的AB边上的中线，且,例,6,如图，在,ABC,中，,AD,是高，,E,、,F,分别是,AB,、,AC,的中点,(1),若,AB,10,，,AC,8,，,求四边形,AEDF,的周长；,解：,AD,是,ABC,的高，,E,、,F,分别是,AB,、,AC,的中点，,DE,AE,AB,10,5,，,DF,AF,AC,8,4,，,四边形,AEDF,的周长,AE,DE,DF,AF,5,5,4,4,18,；,例6 如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC,(2),求证：,EF,垂直平分,AD,.,证明：,DE,AE,，,DF,AF,，,E,、,F,在线段,AD,的垂直平分线上，,EF,垂直平分,AD,.,当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解,归纳,(2)求证：EF垂直平分AD.证明：DEAE，DFAF,如图，在,ABC,中,ABC,=90,BD,是斜边,AC,上的中线,.,(1),若,BD,=3cm,则,AC,=_cm;,(2),若,C,=30,AB,=5cm,则,AC,=_cm,BD,=,_cm.,A,B,C,D,6,10,5,练一练,如图，在ABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的,归纳总结,体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形,归纳总结体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形,1.,如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是,_.,90,2.,如图，,AB,、,CD,相交于点,O,，,AC,CD,于点,C,，,若,BOD,=38，则,A,=,_.,52,第,1,题图,第,2,题图,当堂练习,3.,在,ABC,中，若,A,=43,，,B,=47,，则这个三角形是,_.,直角三角形,1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中,4.,在一个直角三角形中，有一个锐角等于40，则另,一个锐角的度数是（）,A40 B50 C60 D70,B,5.,具备下列条件的,ABC,中，不是直角三角形的是,（）,A,A,+,B,=,C,B,A,-,B,=,C,C,A,：,B,：,C,=1：2：3,D,A,=,B,=3,C,D,4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40，则另 B5,6.,如图所示，,ABC,为直角三角形，,ACB,=90，,CD,AB,，与1互余的角有（）,A,B,B,A,C,BCD,和,A,D,BCD,C,6.如图所示，ABC为直角三角形，ACB=90，C,7.,如图，在直角三角形,ABC,中，,ACB,=90，,D,是,AB,上一点，且,ACD,=,B,求证：,ACD,是直角三角形,证明：,ACB,=90，,A,+,B,=90，,ACD,=,B,，,A,+,ACD,=90，,A,CD,是直角三角形,.,7.如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，D是AB上,8.,如图，已知,BD,，,CE,是,ABC,不同边上的高，点,G,，,F,分别是,BC,，,DE,的中点，试说明,GF,DE,.,解：连接,EG,，,DG,.,BD,，,CE,是,ABC,的高，,BDC,BEC,90.,点,G,是,BC,的中点，,EG,BC,，,DG,BC,.,EG,DG,.,又,点,F,是,DE,的中点，,GF,DE,.,在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,归纳,8.如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分,课堂小结,直角三角形的性质与判定,性质,直角三角形的两个锐角互余,判定,有两个角互余的三角形是直角三角形,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,.,课堂小结直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判,