单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,28,数列求和、数列的综合应用,28数列求和、数列的综合应用,1,公式法求和,使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法,一些特殊数列的前,n,项和公式,(1)1,2,3,n,_,；,(2)2,4,6,2,n,_,；,(3)1,3,5,(2,n,1),_,；,n,(,n,1),n,2,1公式法求和n(n1)n2,2,错位相减法求和,(1),适用条件：如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前,n,项和可用此法来求，即求数列,a,n,b,n,的前,n,项和，其中,a,n,，,b,n,分别是等差数列和等比数列,2错位相减法求和,(2),关注点：,(i),要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；,(ii),在写出,“,S,n,”与,“,qS,n,”的表达式时应特别注意将两式,“,错项对齐,”,，以便于下一步准确地写出,“,S,n,qS,n,”的表达式,在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，要分公比等于,1,和不等于,1,两种情况求解,(2)关注点：(i)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为,3,裂项相消法求和,(1),原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,(2),常见数列的裂项,数列,(,n,为正整数,),裂项方法,(,k,为非零常数,),3裂项相消法求和数列(n为正整数)裂项方法,4.,倒序相加法求和,如果一个数列,a,n,与首末两端,“,等距离,”,的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前,n,项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前,n,项和公式即是用此法推导的,(,a,0,，,a,1),4.倒序相加法求和,5,分组求和法求和,若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和然后相加减例如已知,a,n,2,n,(2,n,1),，求,S,n,.,5分组求和法求和,考向,1,公式法、分组求和法求和,利用公式进行数列求和是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，属容易题,.,在复习中，除了熟练掌握求和公式外，还要熟记一些常见的求和结论，分清数列的项数，以免在使用公式时出错,例,1(2016,浙江文,，,17,，,15,分,),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，已知,S,2,4,，,a,n,1,2,S,n,1,，,n,N,*,.,(1),求通项公式,a,n,；,(2),求数列,|,a,n,n,2|,的前,n,项和,考向1 公式法、分组求和法求和,又当,n,2,时，由,a,n,1,a,n,(2,S,n,1),(2,S,n,1,1),2,a,n,，,得,a,n,1,3,a,n,.,所以数列,a,n,的通项公式为,a,n,3,n,1,，,n,N,*,.,(2),设,b,n,|3,n,1,n,2|,，,n,N,*,，,b,1,2,，,b,2,1.,当,n,3,时，由于,3,n,1,n,2,，,故,b,n,3,n,1,n,2,，,n,3.,设数列,b,n,的前,n,项和为,T,n,，则,T,1,2,，,T,2,3.,又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn1,考点28-数列求和、数列的综合应用课件,1,几类可以使用公式求和的数列,(1),等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解,(2),奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式,(3),等差数列各项加上绝对值，等差数列乘,(,1),n,等,1几类可以使用公式求和的数列,2,分组转化法求和的常见类型,(1),若,a,n,b,n,c,n,，且,b,n,，,c,n,为等差或等比数列，可采用分组求和法求,a,n,的前,n,项和,2分组转化法求和的常见类型,变式训练,(2016,北京文,，,15,，,13,分,),已知,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列，且,b,2,3,，,b,3,9,，,a,1,b,1,，,a,14,b,4,.,(1),求,a,n,的通项公式；,(2),设,c,n,a,n,b,n,，求数列,c,n,的前,n,项和,设等差数列,a,n,的公差为,d,.,因为,a,1,b,1,1,，,a,14,b,4,27,，,所以,1,13,d,27,，即,d,2.,所以,a,n,2,n,1(,n,1,，,2,，,3,，,),变式训练(2016北京文，15，13分)已知an是等,(2),由,(1),知，,a,n,2,n,1,，,b,n,3,n,1,.,因此,c,n,a,n,b,n,2,n,1,3,n,1,.,从而数列,c,n,的前,n,项和,(2)由(1)知，an2n1，bn3n1.,考向,2,错位相减法求和,错位相减法求和在高考中几乎年年考查，多在解答题的第二问中出现，难度中档，约占,6,分在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为,1,的等比数列对应项相乘所得，所谓,“,错位,”,就是找,“,同类项,”,相减,考向2 错位相减法求和,例,2(2017,天津,，,18,，,13,分,),已知,a,n,为等差数列，前,n,项和为,S,n,(,n,N,*,),，,b,n,是首项为,2,的等比数列，且公比大于,0,，,b,2,b,3,12,，,b,3,a,4,2,a,1,，,S,11,11,b,4,.,(1),求,a,n,和,b,n,的通项公式；,(2),求数列,a,2,n,b,2,n,1,的前,n,项和,(,n,N,*,),【,解析,】,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,，等比数列,b,n,的公比为,q,.,由已知,b,2,b,3,12,，得,b,1,(,q,q,2,),12,，而,b,1,2,，所以,q,2,q,6,0.,又因为,q,0,，解得,q,2.,所以,b,n,2,n,.,由,b,3,a,4,2,a,1,，可得,3,d,a,1,8.,由,S,11,11,b,4,，可得,a,1,5,d,16,，,例2(2017天津，18，13分)已知an为等差数列,联立,，解得,a,1,1,，,d,3,，由此可得,a,n,3,n,2.,所以数列,a,n,的通项公式为,a,n,3,n,2,，数列,b,n,的通项公式为,b,n,2,n,.,(2),设数列,a,2,n,b,2,n,1,的前,n,项和为,T,n,，,由,a,2,n,6,n,2,，,b,2,n,1,24,n,1,，有,a,2,n,b,2,n,1,(3,n,1)4,n,，,故,T,n,24,54,2,84,3,(3,n,1)4,n,，,4,T,n,24,2,54,3,84,4,(3,n,4)4,n,(3,n,1)4,n,1,，,上述两式相减，得,3,T,n,24,34,2,34,3,34,n,(3,n,1)4,n,1,联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以,考点28-数列求和、数列的综合应用课件,错位相减法求和的具体步骤,步骤,1,写出,S,n,c,1,c,2,c,n,；,步骤,2,等式两边同乘等比数列的公比,q,，即,qS,n,qc,1,qc,2,qc,n,；,步骤,3,两式错位相减转化成等比数列求和；,步骤,4,两边同除以,1,q,，求出,S,n,.,同时注意对,q,是否为,1,进行讨论,错位相减法求和的具体步骤,变式训练,(2015,山东,，,18,，,12,分,),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,.,已知,2,S,n,3,n,3.,(1),求,a,n,的通项公式；,(2),若数列,b,n,满足,a,n,b,n,log,3,a,n,，求,b,n,的前,n,项和,T,n,.,解,：,(1),因为,2,S,n,3,n,3,，所以,2,a,1,3,3,，故,a,1,3,，,当,n,2,时，,2,S,n,1,3,n,1,3,，,可得,2,a,n,2,S,n,2,S,n,1,3,n,3,n,1,23,n,1,，,变式训练(2015山东，18，12分)设数列an的前,所以,3,T,n,1,13,0,23,1,(,n,1)3,2,n,，,两式相减，得,所以3Tn1130231(n1)32,考点28-数列求和、数列的综合应用课件,考向,3,裂项法求和,裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中高档在复习时，熟记常见的裂项形式，弄清在抵消过程中是依次抵消还是间隔抵消，特别要注意抵消后的剩余项,考向3 裂项法求和,所以,a,n,是首项为,3,，公差为,2,的等差数列，,所以通项公式,a,n,2,n,1.,所以an是首项为3，公差为2的等差数列，,(2),由,a,n,2,n,1,可知,(2)由an2n1可知,用裂项法求和的裂项原则及规律,(1),裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止,(2),消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项,要注意,n,1,时，是否符合所求得的通项公式；,裂项相消后，注意留下了哪些项，避免遗漏,用裂项法求和的裂项原则及规律要注意n1时，是否符合所,变式训练,(2014,山东,，,19,，,12,分,),已知等差数列,a,n,的公差为,2,，前,n,项和为,S,n,，且,S,1,，,S,2,，,S,4,成等比数列,(1),求数列,a,n,的通项公式；,变式训练(2014山东，19，12分)已知等差数列an,考点28-数列求和、数列的综合应用课件,考点28-数列求和、数列的综合应用课件,考向,4,数列与函数、不等式的综合应用,数列与函数、不等式的综合问题是每年高考的重点，多为解答题，难度偏大，属中高档题高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度：以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；考查与数列问题有关的不等式的证明问题在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点,考向4 数列与函数、不等式的综合应用,例,4(2015,安徽,，,18,，,12,分,),设,n,N,*,，,x,n,是曲线,y,x,2,n,2,1,在点,(1,，,2),处的切线与,x,轴交点的横坐标,(1),求数列,x,n,的通项公式；,【,解,析,】,(1),由题意，,y,(2,n,2),x,2,n,1,，,曲线在点,(1,，,2),处的切线斜率为,2,n,2.,切线方程为,y,2,(2,n,2)(,x,1),例4(2015安徽，18，12分)设nN*，xn是曲线,(2),证明：由题设和,(1),中的计算结果知，,(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，,1,数列与函数综合问题的主要类型及方法,(1),已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题,(2),已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形,1数列与函数综合问题的主要类型及方法,2,数列中不等式问题的处理方法,(1),函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式,(2),放缩法：数列中不等式可以通过对中间过程或最后的结果放缩得到,(3),比较法：作差或者作商比较法,(4),数学归纳法：使用数学归纳法进行证明,2数列中不等式问题的处理方法,变式训练,(2016,四川,，,19,，,12,分,),已知数列,a,n,的首项为,1,，,S,n,为数列,a,n,的前,n,项和，,S,n,1,qS,n,1,，其中,q,0,，,n,N,*,.,(1),若,2,a,2,，,a,3,，,a,2,2,成等差数列，求数列,a,n,的通项公式；,解,：,(1),由已知，,