单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,#,三角形全等与角平分线,1,2,三角形全等与角平分线12,知识,结构图,三角形,边角关系,三边关系,内外角,证明全等,SSS,边边边,SAS,边角边,ASA,角边角,&AAS,HL,直角,角平分线应用,性质,判定,2,2024/11/18,知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等SSS 边,边边边（,SSS,）,两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。,3,2024/11/18,边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。32,边角边（,SAS,）,两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。,4,2024/11/18,边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。4,角边角（,ASA,）,&,角角边（,AAS,）,两角和它们的夹边相等的两个三角形全等。,5,2024/11/18,角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个,直角边与斜边（,HL,）,斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。,6,2024/11/18,直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形,“全等”与“”,例，已知,ABC,和,DEF,全等。其中,A=60,、,E=40,、,D=80,，,BC=3,，则下列结论正确的是：,B=40,；,C=80,；,DE=3,；,F=60,解析：由于,ABC,与,DEF,全等，所以边角没有对应关系。,由于,F=180-D-E=60=A,从而得出：,A,与,F,为对应角。,那么,BC,与,DE,应为对应边：,BE=BC=3.,7,2024/11/18,“全等”与“”例，已知ABC和DEF全等。其中A=6,利用全等性质证明边相等或角相等,解题思路：,证明对应边（角）相等,证明对应边（角）所在三角形全等,找全等已知条件，判断缺少什么条件,通过已知条件推导所缺条件,证明全等,8,2024/11/18,利用全等性质证明边相等或角相等解题思路：证明对应边（角）相等,利用全等性质证明边相等或角相等,如图，已知,AB=AC,、,AD=AE,、,BAC=DAE,。,求证：,BD=CE,。,A,B,C,E,D,解析：由于,BD=CE,只需证明,ABD ACE,已知,AB=AC,、,AD=AE,缺一个角相等（,BAD=CAE,）,只需证明：,BAD=CAE,证明：,BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC,即,BAD=CAE,在,ABD,和,ACE,中,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ABD,ACE,BD=CE,9,2024/11/18,利用全等性质证明边相等或角相等如图，已知AB=AC、AD=A,三角形的中线倍长,1,如图，在,ABC,中，,BD,是,ABC,的中线。,（,1,）如图，延长中线,BD,至,E,，使,DE=BD,，连接,AE,、,CE,。,求证：,1,ADB,CDE,；,2 AE=BC,，,AE/BC,；,3 AB+BC2BD,。,证明：,1,在,ADB,与,CDE,中：,AD=CD,ADB=CDE,BD=DE,ADB,CDE,（,SAS,）,2,在,ADE,、,CDB,中：,AD=CD,ADE=CDB,BD=DE,ADE,CDB,（,SAS,）,AE=BC;DBC=DEA,AE/BC,3 BC=AE,由,AB+AEBE,得：,AB+BCBE,又,BD,为中线,BE=2BD,AB+BC2BD,A,B,C,E,D,D,10,2024/11/18,三角形的中线倍长1如图，在ABC中，BD是ABC的中线。,三角形的中线倍长,线段,AB,与线段,CE,的关系为,。,若,AB=x,，,BC=y,，中线,BD,的长度的取值范围是,。,若,AB=m,，,BD=n,，线段,BC,的长度的取值范围是,。,A,B,C,E,D,总结一下，,D,为,BE,、,AC,中点时：,中线倍长,遇到三角形中线，常用辅助线就是延长中线，使延长线段与中线等长，从而证明三角形全等达到转移边或角目的。,D,11,2024/11/18,三角形的中线倍长线段AB与线段CE的关系为,三角形的中线倍长,如图，在,OMN,中，,MP,是,OMN,的中线，,MQ,是,OMP,的中线，且,OM=OP,。,求证：,MN=2MQ,。,Q,O,N,P,M,M,PN=PM,MPN=MPM,MP,为公共边,MPN,MPM,（,SAS,）,MN=MM=2MQ,又,OM=OP,且,P,为,ON,中点,OMP=OPM,且,PM=OM=OP=PN,MPN,为,OMP,的外角,MPN=OMP+OPM,把、代入得：,MPN=OPM+OPM,=MPM,在,MPN,与,MPM,中：,证明：延长,MQ,至,M,，,使,MQ=QM,连接,PM,MQ,是,OMP,的中线,OQ=PQ,在,OQM,与,PQM,中：,OQ=PQ,OQM=PQM,MQ=QM,OQM,PQM(SAS),O=OPM ,且,OM=PM,12,2024/11/18,三角形的中线倍长如图，在OMN中，MP是OMN的中线，,三角形的中线倍长,如图，,ABC,中，,D,为,AC,边中点，,E,为,AB,上一点。,（,2,）若,DEDF,于,D,，交,BC,于,F,，连接,EF,。,求证：,AE+CFEF,A,B,C,D,F,E,G,证明：延长,DE,至,G,点，,使,DG=DE,，连接,GF,、,GC,。,在,EDF,与,GDF,中,DE=DG,EDF=GDF=90,DF,为公共边,EDF,GDF,（,SAS,）,EF=FG ,在,CFG,中有：,CF+CGFG ,把、代入得：,AE+CFEF,又,D,为,AC,边中点,AD=DC,在,ADE,与,CDG,中,AD=DC,ADE=CDG,DE=DG,ADE,CDG,（,SAS,）,AE=CG ,13,2024/11/18,三角形的中线倍长如图，ABC中，D为AC边中点，E为AB上,三角形的中线倍长,如图，,AB/CD,，,E,为,BD,中点，连接,AC,、,CE,，若,CD=AB+AC.,求证：,AECE,。,A,C,D,B,E,F,CEA=CEF,CEA+CEF=180,CEA=CEF=90,AECE,AB=DF,且,AE=EF,又,CD=AB+AC,即,AC=CD-AB,=CD-DF,=CF,在,ACE,与,FCE,中,AC=CF,AE=EF,CE,为公共边,ACE,FCE,（,SSS,）,证明：延长,AE,交,CD,于,F,点。,AB/CD,BAE=DFE,，,B=D,又,E,为,BD,中点,BE=DE,在,BAE,与,DFE,中,B=D,BE=DE,BEA=DEF,（对顶角）,BAE,DFE,（,ASA,）,14,2024/11/18,三角形的中线倍长如图，AB/CD，E为BD中点，连接AC、,三角形的中线倍长,如图，,ABC,和,DCE,分别为等腰三角形，,AB=AC,，,DC=DE,，,BAC=a,，,CDE=b,，,F,为,BE,中点，连接,AF,DF,。,（,1,）若,a=b=90,，求证：,AF=DF,，,AFDF,。,B,C,F,A,D,E,G,证明：延长,AF,至,G,点，,使,AF=GF,连接,AD,DG,EG.,F,为,BE,中点,BF=EF,在,AFB,与,GFE,中,AF=GF,AFB=GFE,（对顶角）,BF=EF,AFB,GFE,（,SAS,）,EG=AB=AC,且,GEF=ABF,DEG=DEC+GEF,=DEC+ABF=90,在,ADF,与,GDF,中：,AF=GF,FD,为公共边,AD=DG,ADF,GDF,（,SSS,）,ADF=GFD=90,AF=DF,且,AFDF,ACD,=180-ACB-DCE,=90,在,ACD,与,GED,中,DC=DE,ACD=GED=90,EF=AC,ACD,GED,（,SAS,）,AD=DG,、,ADC=GDE,CDG+GDE=90,CDG+ACD=90,ADG,为等腰直角三角形,15,2024/11/18,三角形的中线倍长如图，ABC和DCE分别为等腰三角形，,三角形的中线倍长,如图，,ABC,和,DCE,分别为等腰三角形，,AB=AC,，,DC=DE,，,BAC=a,，,CDE=b,，,F,为,BE,中点，连接,AF,DF,。,(2),若,a 90,，,B 90,，,a+b=180,，求证：,AFDF,。,B,C,F,A,D,E,G,AD=DG,在,AFD,与,GFD,中,AD=GD,AF=GF,DF,为公共边,AFD,GFD,AFD=GFD=90,AFDF,证明：延长,AF,至点,G,，使,AF=GF,，连接,EG,、,DG,、,AD,。,F,为,BE,中点,BF=EF,在,AFB,与,GFE,中,AF=GF,AFB=GFE,（对顶角）,BF=EF,AFB,GFE,（,SAS,）,GE=AB=AC,，,GEF=ABF,ACD=180-ACB-DCE,=180-(180-a)/2-(180-B)/2,=(a+b)/2=90,GED=GEF+DEC,=(180-a)/2+(180-B)/2,=(360-a-b)/2=90,即,ACD=GED,在,ACD,与,GED,中,AC=GE,ACD=GED,DC=DF,ACD,GED,（,SAS,）,16,2024/11/18,三角形的中线倍长如图，ABC和DCE分别为等腰三角形，,三角形的中线倍长,如图，,AD,是,ABC,的中线，,AE AC,、,AF AB,，且,AE=AC,、,AF=AB,。,求证：,2AD=EF,。,A,F,证明：延长,AD,至,P,，使,PD=AD,在,PBD,与,ACD,中,PD=AD,PDB=ADC,CD=BD,PBD,ACD,（,SAS,）,PB=AC,、,C=PBD,PB/AC,BAC+PBA=180,E,C,D,B,P,又,CAE+BAF=90+90=180,CAB+EAF=180,PBA=EAF,又,AC=AE,、,AC=PB,AE=PB,在,ABP,与,FAE,中,AE=PB,EAF=PBA,AB=AF,ABP,FAE,（,SAS,）,EF=PA=2AD,17,2024/11/18,三角形的中线倍长如图，AD是ABC的中线，AE AC、A,三角形的高与垂线,作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可作垂线证全等。,当题目中出现多组互相垂直线段时，往往可通过同角（等角）或余角相等，进而得到证明全等的条件！,18,2024/11/18,三角形的高与垂线作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可,三角形的高与垂线,如图，,C=90,，,BEAB,且,BE=AB,，,BDBC,且,BD=BC,，,CB,延长线交,DE,于,F,。,求证：,F,是,BD,中点。,证明：过,E,作,EMCF,，交,CF,延长线于,M,。,ABE=90,ABC+EBM=90,又,EBM+BEM=90,ABC=BEM,在,ABC,与,BEM,中,BME=ACB=90,ABC=BEM,AB=BE,ABC,BEM,（,AAS,）,ME=BC,又,BC=BD,在,EMF,与,DBF,中,EMF=DBF,EFM=DFB,ME=BD,EMF DBF,（,AAS,）,EF=DF,F,是,ED,中点,A,C,B,D,F,E,M,19,2024/11/18,三角形的高与垂线如图，C=90，BEAB且BE=AB，,三角形的角平分线与内心,如图，,BM,、,CN,是,ABC,的两条角平分线，相交于点,P,。,求证：,P,点在,BAC,的平分线上。,分析：由角平分线的判定可知，要证明,P,点在,BAC,的平分线上，只需证明,P,点到,AB,、,AC,两边的距离相等。从已知可知：,P,点在,BM,上，所以,P,点到,AB,、,BC,两边的距离相等，点,P,又在,CN,上，所以,P,点到,AC,、,BC,两边的距离相等，从而可以由等量代换可证。,证明：过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别垂直于,AB,、,B