单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,土木工程,学科的专业基础课,工 程 力 学,第 4 章,平面力系的简化,与平衡方程,4-1,平面任意力系向一点的简化,1.力系向作用面内一点的简化,主矢,和,主矩,F,3,F,1,F,2,O,O,F,R,M,O,O,F,2,M,2,F,2,=,F,2,M,2,=,M,O,(,F,2,),简化中心,O,F,3,M,3,F,3,=,F,3,M,3,=,M,O,(,F,3,),F,1,M,1,F,1,=,F,1,M,1,=,M,O,(,F,1,),（续）,F,R,=,F,1,+,F,2,+,F,3,=,F,1,+,F,2,+,F,3,M,O,=,M,1,+,M,2,+,M,3,=,M,O,(,F,1,)+,M,O,(,F,2,)+,M,O,(,F,3,),主矢,F,R,M,O,主矩,O,x,y,M,O,F,R,平面任意力系向作用面内任一点,O,简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点,O,的主矩。,（续）,主矢：,主矩：,4-2,平面任意力系简化结果讨论,F,R,=0,，,M,O,=,0,F,R,0,，,M,O,=0,F,R,0,，,M,O,0,（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形,F,R,=0,，,M,O,0,因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,F,R,=0,，,M,O,0,（续）,（2）平面任意力系简化为一个合力的情形,F,R,0,，,M,O,0,合力的作用线通过简化中心,F,R,0,，,M,O,=0,O,F,R,O,F,R,F,R,d,F,R,O,M,o,O,F,R,O,O,d,（续）,（3）合力矩定理及其应用：,平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。,M,O,(,F,R,)=,F,R,d,=,M,O,=,M,O,(,F,i,),M,O,(,F,R,)=,M,O,(,F,i,),1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；,2）求分布力的合力作用线位置。,4-3,平面任意力系的平衡条件,只有当主矢与主矩都等于零时，力系才能平衡。,F,R,=0,M,o,=0,平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件：,所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。,（续）,几点说明：,（1）三个方程只能求解三个未知量；,（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；,（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；,（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。,（5）平衡方程除了上述的“一矩式”，还有“二矩式”和“三矩式”。,4-3,平面任意力系平衡方程的形式,基本形式（一力矩式）,二力矩式,（,x,轴不得垂直于,A,、,B,两点的连线）,三力矩式,（,A,、,B,、,C,三点不得共线）,思考：有三投影式吗？,F,R,B,A,例题1,已知：,P8kN，m4kN.m,求：A、B处的反力。,解：,取刚架AB为研究对象，则,4m,2.5m,2.5m,P,m,A,B,P,m,A,B,F,B,F,Ax,F,Ay,例题2,已知：如图，a=4m，r=1m，P=12kN,求：A、,B处的反力,。,解：,取图示部分为研究对象。,P,A,D,E,B,C,r,F,Bx,F,By,F,A,P,A,D,E,B,C,a,a,r,a,例题3,已知：如图，a=4m，r=1m，P=12kN,求：A、B处的反力。,解,：取梁图示部分为研究对象。,P,A,D,E,B,C,a,a,r,45,F,TE,P,A,D,B,r,F,Ax,F,Ay,F,B,45,例题4,已知：如图，a=3m，q=4kN/m，P=12kN,求：A处的反力。,解：取刚架AB为研究对象。,（可求得,F1,12kN，,F2,=6kN）,P,A,q,B,F,Ax,F,Ay,M,A,F,1,F,2,P,A,q,a,a,a,a,B,例题5,已知：,F，,求：物块M的压力。,解,：取图示部分为研究对象。,假设BCa,B,M,F,A,C,D,F,BA,B,F,C,E,F,M,4-4,平面平行力系的平衡方程,二个方程只能,求解二个未知量,y,x,o,F,3,F,2,F,1,F,n,（,A,、,B,两点的连线不得与各力平行）,二力矩式,例题6,已知：,F,=2k,N,，,q,=1k,N,/,m；,求：,A、B,支座反力。,解：取梁,ABCD,为研究对象。,D,1m,2m,1m,A,B,C,F,q,：合力,例题7,求,欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。,P,2,P,1,A,B,P,b,e,a,l,F,NB,F,NA,解：,取起重机为研究对象,（1）满载时，其限制条件是：,F,NA,0,（2）空载时，其限制条件是：,F,NB,0,因此，P,2,必须满足：,4-5,物体系的平衡问题,静定体系,：未知量数目等于独立平衡方程数目。,超静定体系,：未知量数目多于独立平衡方程数目。,P,A,B,F,B,F,A,P,A,B,C,F,A,F,B,F,C,D,1m,2m,1m,A,B,C,F,q,E,P,A,Q,C,B,D,E,（续）,物体系,处于平衡时，体系中的每一个,物体,也必定处于平衡状态,。n 个物体可以写出3n个独立的平衡方程，求解3n个未知量。,构思合理的解题思路，恰当选取,分离体,和恰当选择,平衡方程,，选择适当的,投影轴,和,矩心,，,避免解联立方程,。,正确分析物体系,整体,和各,局部,的受力情况及其联系，,多次选取,有效的分离体，列出,独立的,平衡方程，解出所要求的未知量。,例题8,已知：,P,=0.4kN，,Q,=1.5kN，,sin,=4/5,，,D,E,为中点，,AB,l ，,求：支座A、C的反力。,解：,(1),取整体为研究对象。,由式解得,(2),取,AB,为研究对象。,P,A,B,F,Bx,F,By,F,Ax,F,Ay,A,Q,C,B,P,D,E,F,Ax,F,Ay,F,Cx,F,Cy,解得:,代入（3）式，得,例题9,求：,A,、,C,的约束反力和,DC,杆内力。,解,:,(1),取图示,BC,和圆盘为研究对象。,D,B,P,A,C,H,L,a,a,45,r,a,F,DC,D,B,H,P,F,1,（续）,（,2）取图示部分为研究对象。,P,F,1,F,C,F,Ax,F,Ay,D,B,C,H,45,例题10,已知:a=2m；,q=3kN/m,求支座A、D反力。,解：,取AB部分为研究对象,q,A,B,C,D,a,a,a,F,By,F,Bx,F,Ay,F,Ax,q,A,B,C,D,q,A,B,F,Ay,F,Ax,F,Dy,F,Dx,取整体为研究对象,例题11,求：,A,、,E,的约束,反力和,BC,杆内力。,解：,(1),取整体为研究对象,E,q,a,a,a,a,a,A,B,C,D,C,D,q,F,Dx,F,Dy,F,C,F,E,F,Ay,F,Ax,解得：,(2),取折杆,CD,为研究对象,解得：,例题12,已知：,M,=10kNm；,求：支座A反力和C的内力。,1m,1m,A,C,1m,1m,M,q,B,B,C,q,M,C,A,q,解：,(1),取,BC,为研究对象,解得:,解得:,F,Ax,F,Ay,M,A,F,B,M,M,C,A,q,F,Ax,F,Ay,M,A,F,Cx,F,Cy,F,B,(2),取,AC,为研究对象,例题13,求：,A,、,D,的约束反力。,解：,(1),取,BC,杆为研究对象,P,P,A,B,C,D,a,a,a,a,2a,2a,解得：,(2),取,AB,杆为研究对象,代入（3）式解得：,P,F,Bx,F,By,F,Cy,F,Cx,B,C,F,Ay,P,F,Ax,A,B,解得：,例题14,已知：,q,=50kN/m,；,求：,A、B,的约束反力。,q,M,A,B,C,D,E,H,2m,2m,2m,2m,1m,1m,F,Dx,F,Dy,F,NE,H,q,M,E,D,F,Cx,F,Cy,F,NB,B,C,D,解：,(1),取,DE,杆为研究对象,(2),取,BDC,杆为研究对象,(3),取整体为研究对象,100kN,kN,3,110,=,=,Ay,Ax,0,=,A,M,F,F,解得：,课堂练习,求：,A、E、D处的反力。,A,B,D,P,q,M,C,E,2a,a,a,A,B,P,q,E,F,BC,F,D,F,CB,D,M,C,课堂练习,求：A处的反力。,q,A,B,C,2a,a,a,a,a,P,D,q,A,B,C,2a,a,a,a,a,P,D,课堂练习,求：,A,、,D,、,B,的约束反力。,a,B,C,D,A,G,E,P,a,a,a,F,Cx,F,Cy,F,Bx,F,By,a,B,C,D,A,F,E,a,a,a,M,(,c,),a,B,C,D,A,F,E,P,a,a,a,(,b,),a,B,C,D,A,F,E,a,a,a,M,(,d,),作业布置,9月25日,P.62 4-1，4-2，4-3(a)，4-6(b)，4-10；,9月28日,P.65 4-14，4-15，4-16，4-17，4-19；,