单击此处编辑母版标题样式,2,4 常用的连续型分布,二、指数分布,三、正态分布,一、均匀分布,一、均匀分布,均匀分布,均匀分布的分布函数,一、均匀分布,均匀分布,均匀分布的数字特征,二、指数分布,指数分布,指数分布的分布函数,指数分布的数字特征,二、指数分布,指数分布,二、指数分布,指数分布,定理2,5(指数分布的无记忆性),非负连续型随机变量,X,服从指数分布的充要条件是,对任意正实数,r,和,s,有,例2,22,某元件的寿命,X,服从指数分布,已知其平均寿命为1000 h,求3个这样的元件使用1000 h,至少已有一个损坏的概率,由题设知,EX,1000 h,于是该指数分布的参数为,从而,X,的分布函数为,e,1,1,F,(1000),1,P,X,1000,P,X,1000,由此得,各元件的寿命是否超过1000,h,是独立的,于是3个元件使用1 000,h,都未损坏的概率为e,3,从而至少有一个已损坏的概率为1,e,3,解,三、正态分布,正态分布,正态分布的数字特征,可见,正态分布的两个参数实际上分别为其数学期望和方差,正态分布的期望和方差为,EX,DX,2,(2,76),说明,正态分布的密度函数的特征,正态分布的“钟型”特征与实际中很多随机变量的“中间大,两头小”的分布规律相吻合,说明,正态分布的密度函数的特征,比如考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其分布的特点是,在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少,说明,正态分布的密度函数的特征,一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征,进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量的独立因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态分布,1,正态分布的分布函数,正态分布的密度函数的特征,标准正态分布,2,标准正态分布表,在附录中列出了标准正态分布的密度函数值表和分布函数值表,但表中只列出,x,0时,0,(,x,)和,0,(,x,)的值,这是因为由正态分布的对称性可以导出,0,(,x,)和,0,(,x,)在,x,0时的值,标准正态分布表,标准正态分布,2,标准正态分布表,标准正态分布表,对于,0,(,x,)而言,直接由其对称性有,0,(,x,),0,(,x,),因而,当,x,0时,0,(,x,),0,(,x,),在表中查,0,(,x,)即得,0,(,x,),提示,标准正态分布,2,标准正态分布表,标准正态分布表,对于,0,(,x,),由于,0,(,x,)关于,x,0对称,有,0,(,x,),0,(,x,),1,(2,80),特别地,有,0,(0),0,5,当,x,0时,由,0,(,x,),1,0,(,x,),查表得,0,(,x,),即可得,0,(,x,),例2,23,设,X,N,(0,1),(1)求,P,X,1,96,P,X,1,96,P,|,X,|,1,96,P,1,X,2,(2)已知,P,X,a,0,7019,P,|,x,|,b,0,9242,P,X,c,0,2981,求,a,b,c,解,(1)直接查表可得,根据,0,(,x,)的对称性,有,0,97725,0,8413,1,0,81855,0,(2),0,(1),1,P,X,1,96,0,(1,96),0,975,P,X,1,96,0,(,1,96),1,0,(1,96),1,0,975,0,025,P,|,X,|,1,96,P,1,96,X,1,96,0,(1,96),0,(,1,96),2,0,(1,96),1,2,0,975,1,0,95,P,1,X,2,0,(2),0,(,1),0,(2),1,(1),例2,23,设,X,N,(0,1),(1)求,P,X,1,96,P,X,1,96,P,|,X,|,1,96,P,1,X,2,(2)已知,P,X,a,0,7019,P,|,x,|,b,0,9242,P,X,c,0,2981,求,a,b,c,解,(2)直接查表可得,a,0,53,P,|,X,|,b,2,0,(,b,),1,0,9242,由,查表即得,b,1,78,查表得,c,0,53,0,(,c,),1,0,(,c,),0,7019,所以,c,0,根据对称性,有,由于,P,X,c,0,2981,0,5,c,0,53,提示,3,一般正态分布与标准正态分布的关系,定理2,6(正态分布的线性变换),设,X,N,(,2,),Y,aX,b,a,b,为常数,且,a,0,则,Y,N,(,a,b,a,2,2,),推论1,通常称为,X,的标准化,推论2,X,N,(,2,)的充要条件是存在一个随机变量,N,(0,1),使得,X,推论3,设,X,N,(,2,),(,x,),(x,)分别为其分布函数与密度函数,0,(,x,),0,(,x,)是标准正态分布的分布函数和密度函数,则有,4,一般正态分布的概率计算,一般正态分布与标准正态分布的关系,为一般正态分布的概率计算提供了有效的途径,对于一般正态分布的有关问题,尤其是概率计算,都可以转化为标准正态分布来解决,例2,24,已知,X,N,(8,0,5,2,),求,(1),(9),(7),(2),P,7,5,X,10,(3),P,|,X,8|,1,(4),P,|,X,9|,0,5,(1),解,(9),P,X,9,0,(2),0,97725,(7),P,X,7,0,(,2),1,0,(2),0,02275,例2,24,已知,X,N,(8,0,5,2,),求,(1),(9),(7),(2),P,7,5,X,10,(3),P,|,X,8|,1,(4),P,|,X,9|,0,5,(2),解,0,99997,0,8413,1,0,8413,0,(4),0,(1),1,0,(4),0,(,1),例2,24,已知,X,N,(8,0,5,2,),求,(1),(9),(7),(2),P,7,5,X,10,(3),P,|,X,8|,1,(4),P,|,X,9|,0,5,(3),解,2,0,(2),1,0,9545,2,0.97725,1,(4),0,(3),0,(1),0,1573,0,99865,0,8413,例2,25,某种型号电池的寿命,X,近似服从正态分布,N,(,2,),已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92,36%,为使其寿命在,x,和,x,之间的概率不小于0,9,x,至少为多大？,由,P,X,250,P,X,350,解,根据密度函数关于,x,对称,