单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,不定积分知识点复习,知识总述,原函数与不定积分概念,不定积分性质,不定积分基本解法,习题,小结,一,知识总述,前面我们学习了一元函数微分学.但在实际的科学领域中,我们常常遇到与此相反的问题:即寻求一个(可导)函数,要求其导数等于一个已知函数.这样就产生了一元函数积分学.,积分学分为不定积分和定积分两部分.,本章我们学习的是不定积分,先从导数的逆运算引出不定积分的概念.然后介绍了其性质,最后系统地介绍一些常用的积分方法.,返回,不定积分的基本概念和性质-,理解,基本积分公式-,熟记,分部积分法和换元积分法-,熟练运用,换元积分法-,如何做变量代换,分部积分法-,如何选取分部积分公式中的“u”和“v”,难点：,重点：,分部积分公式:,返回,基本要求,正确理解原函数和不定积分概念,熟记基本积分公式,熟练地运用换元积分法和分部积分法,能用待定系数法求基本的有理函数积分,返回,例,定义：,二,原函数与不定积分概念,返回,若存在可导函数,对原函数的研究须讨论解决下面两个问题,(1)是否任何一个函数都存在原函数？,考察如下的例子,则由,的定义,关于原函数的说明：,返回,（左、右极限存在且相等）,而已知,这样得到矛盾.,这说明,没有原函数.,既然不是每一个函数都有原函数,那么具备什么条件的函数才有原函数?,连续函数都有原函数.,对此我们有如下的结论:,返回,（2）原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有,什么联系?,若 ，则对于任意常数 ，,若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,返回,任意常数,积分号,被积函数,不定积分的定义：,被积表达式,积分变量,为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数,再加上积分常数即可.,返回,例1,求,解:,解:,例2,求,返回,例3,设曲线通过点(1，2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.,解:,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,返回,由不定积分的定义，可知,微分运算与求不定积分(不考虑后面的常数C)是逆运算。,结论：,返回,此性质可推广到有限多个函数之和的情况,三,不定积分的性质,返回,即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合.,注意到上式中有,n,个积分号,形式上含有,n,个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数,故实际上只含有,一个任意常数.,结合结论(1)与(2),我们可以得到,返回,实例,提问:能否根据求导公式得出积分公式？,既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.,四,不定积分的基本解法,返回,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,返回,返回,以上13个公式是求不定积分的基础,称为基本积分表,必须熟练掌握.,返回,例4,求积分,解:,根据积分公式（2）,返回,例5,求积分,解:,注,1,从该题中我们可以看出熟记基本积分表的,重要性.,2,检验积分结果是否正确,只要把最后的结果,求导,看其导数是否等于被积函数.,返回,(第一类换元法),例6,求积分,解:,原式,令u=2x+1,上式,返回,令,(第二类换元法),例7,求积分,那么,解:,原式,返回,考虑公式,(分部积分法),例8,求积分,那么,解:,原式,将,看做公式中的,看做公式中的,返回,例9,求积分,解:,原式,(有理函数积分法),返回,解:,所求曲线方程为,返回,说明,求不定积分时一定要加上积分常数,它表明一个函数的原函数有无穷多个,即要求的是全体原函数,若不加积分常数则表示只求出了其中一个原函数.,写成分项积分后,积分常数可以只写一个.,积分的结果在形式上可能有所不同,但实质上,只相差一个常数.,返回,求下列不定积分.,五,习题,返回,不定积分作为高等数学中的一个重要内容,前后连接着导数(或微分)与定积分的内容.它既是求导思想的逆向运用,也是定积分的基础.同时它本身在数学,物理等领域的实际模型构造中有着重要作用.,因此,不定积分的学习既可以巩固基础数学知识,学习常用技巧,培养数学思维,又有显著的实际应用性.,六,小结,返回,谢 谢 大 家！,