单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,路漫漫其修远兮,吾将上下而求索,18 十一月 2024,小学四年级奥数教程盈亏问题,25 九月 2023小学四年级奥数教程盈亏问题,1,知识要点,把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。,解盈亏问题的公式,【一盈一亏的解法】,(盈数+亏数)两次每人分配数的差,【双盈的解法】,(大盈-小盈)两次每人分配数的差,【双亏的解法】,(大亏-小亏)两次每人分配数的差,知识要点 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次,2,知识要点,由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的公式，先求得人数(不是物数)，再求出物数；如果两次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差除以两次分配数之差。有些应用题，从表面看起来似乎不是盈亏问题，但认真分析，将条件适当地转化后，竟然可变成盈亏问题进行解答。必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从,“,包含,”,入手比较困难，可以间接从其反面,“,不包含,”,去想就会比较容易。,知识要点 由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关,3,例题精选,例1：,小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？,例题精选例1：,4,分析与解,由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9615（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为541（粒）。,分析与解由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的,5,分析与解,每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15115（人），糖果的粒数为415969（粒）。解：（96）（5-4）15（人），415969（粒）。答：有15个小朋友，分69粒糖。,分析与解 每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋,6,例题精选,例2：,小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？,例题精选例2：,7,分析与解,本题与例1基本相同，本题中两次分配数之差是5-32（粒）,两种分配方案的盈数与亏数之和为26=8（粒）。仿照例1的解法即可。解：（62）（4-2）4（人），34214（粒）。,分析与解 本题与例1基本相同，本题中两次分配数之差是5-,8,思考提高,由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额两次分配数之差。需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一,“,盈,”,一,“,亏,”,，也会出现两,“,盈,”,、两,“,亏,”,、一,“,不盈不亏,”,一,“,盈,”,或,“,亏,”,等情况。,思考提高由上两例看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分,9,例题精选,例3：,小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？,例题精选例3：,10,分析与解,第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16348（粒），所以盈亏总额是048=48（粒），而两次分配数之差是16-106（粒）。由盈亏问题的公式得有小朋友（0163）（16-10）8（人），有糖10880（粒）。,分析与解 第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏163,11,例题精选,例4：,一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？,例题精选例4：,12,分析与解,两种购物方案的盈亏总额是8412（元），两次分配数之差是10-73（元）。由公式得到小朋友的人数（84）（10-7）4（人），东西的价格是104-832（元）。,分析与解 两种购物方案的盈亏总额是8412（元），两,13,例题精选,例5：,顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？,例题精选例5：,14,分析与解,买5本多3元，买7本少1.8元。盈亏总额为31.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-52（本）书，因此每本书4.82=2.4（元），顾老师共带钱 2.45315（元）。,分析与解 买5本多3元，买7本少1.8元。盈亏总额为3,15,例题精选,例6：,王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？,例题精选例6：,16,分析与解,本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元。从买7把变成买5把，少买了7-5=2（把）提琴，而钱的差额减少了110-3080（元），即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。,解：（110-30）（7-5）40（元），407-110170（元）。答：小提琴40元一把，王老师带了170元钱。,分析与解本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情,17,例题精选,例7：,某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？,有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的“真相”。,例题精选例7：有些问题初看似乎不像盈亏问题，但,18,分析与解,本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件,“,如果增加一条船,”,表示,“,如果每船坐6人，那么有6人无船可坐,”,；,“,如果减少一条船,”,表示,“,如果每船坐9人，那么就空出一条船,”,。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为69=15，两次分配的差为9-63。,解：（69）（9-6）5（条），,656=36（人）。,答：有36名学生。,分析与解 本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加,19,例题精选,例8：,少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？,例题精选例8：,20,分析与解,我们将,“,其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑,”,转化为,“,每人都挖6个坑，就多挖了4个坑,”,。这样就变成了,“,典型,”,的盈亏问题。盈亏总额为437（个）坑，两次分配数之差为6-51（个）坑。,解：3（6-4）2（6-5）7（人）,57338（个）。,答：一共要挖38个坑。,分析与解 我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”,21,例题精选,例9：,在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？,例题精选例9：,22,分析与解,因为把绳子对折余8米，所以是余了82=16（米）；同样，把绳子三折余2米，就是余了326（米）。两种方案都是,“,盈,”,，故盈亏总额为16-6=10（米），两次分配数之差为3-21（折），所以,桥高（82-23）（3-2）10（米），绳子的长度为2108236（米）。,分析与解因为把绳子对折余8米，所以是余了82=16（米）,23,例题精选,例10：,有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。,问：苹果和梨各有多少个？,例题精选例10：,24,分析与解,容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于第一种方案是1个苹果,“,搭配,”,2个梨，第二种方案是3个苹果,“,搭配,”,5个梨。如果将这两种方案统一为1个苹果,“,搭配,”,若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为,“,1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配个梨，多一个梨,”,，此时盈亏总额为4+1=5（个）梨，两次分,配数之差为2-=（个）梨。所以,有苹果5=15（个）,有梨152-426（个）,分析与解容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配,25,例题精选,例11：,乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？,例题精选例11：,26,分析与解,乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有508400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（5010）5300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差,400300700（米）。,两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为,7001070（分），,也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为,50（2708）4000（米）,分析与解 乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米,27,例题精选,例12：,王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？,例题精选例12：,28,分析与解,每天加工20个，如果一直加工到计划时间，那么将多加工20个零件；改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（205）375（个）。盈亏总额为75-2055（个）。两种加工的速度比较，每天相差5个。,根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是55511（天），计划时间为11415（天），这批零件共有：,20（15-1）280（个）,分析与解 每天加工20个，如果一直加工到计划时间，那么,29,练习提升,1小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？2一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？3学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？,练习提升 1小朋友分糖果，每人3粒，余30,30,练习提升,4参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？5红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？6某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。,练习提升 4参加美术活动小组的同学，分配若,31,练习提升,7某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？8同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？,9.筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑。问：这条路共有多长？,练习提升 7某厂运来一批煤，如果每天烧15,32,练习提升,10.小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，