,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形的有关证明,复习课,在本章中你学到了什么？,角的平分线,通过探索,猜想,计算和证明得到定理,与等腰三角形,等边三角形有关的结论,与直角三角形有关的结论,命题的逆命题及其真假,线段的垂直平分线,全等三角形,学习目标,：,1,、会判定两个三角形全等,2,、会用等腰三角形、等边三角形,直角三角形的性质和判定进行证明。,3,、会用反证法证明命题的成立,.,4,、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解决问题。,重点：,探索证明的思路和方法；,难点：,准确地表达推理证明过程。,怎么证明几何命题？,证明命题的一般步骤,:,(1),理解题意,:,分清命题的条件,(,已知,),结论,(,求证,);,(2),根据题意,画出图形,;,(3),结合图形,用符号语言,写出“已知”和“求证”,;,(4),分析题意,探索证明思路,(,可以,由,“,因,”,导,“,果,”综合法或者由“果”逆推“因”分析法,);,(5),依据思路,运用数学符号和数学语言,条理清晰地写出证明过程,;,(6),检查表达过程,是否正确,完善,.,知识点一：全等三角形,一般三角形,全等的条件：,1.,定义（重合）法；,2.SSS,；,3.SAS,；,4.ASA,；,5.AAS.,直角三角形,全等,特有,的条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,解题中常用的,4,种方法,分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全等,.,由题目已知只要证明,AF,CE,，,A,C,例,1,如图,2,，,AE,CF,，,ADBC,，,AD,CB,，,求证：,说明：本题的解题关键是证明,AF,CE,，,A,C,，易错点是将,AE,与,CF,直接作为对应边，而错误地写为：,又因为,ADBC,，,（,？,）,（,？,）,例,2,已知：如图,3,，,ABCA,1,B,1,C,1,，,AD,、,A,1,D,1,分别是,ABC,和,A,1,B,1,C,1,的高,.,求证：,AD=A,1,D,1,图,3,证明：,ABCA,1,B,1,C,1,（已知）,AB=A,1,B,1,，,B=B,1,（全等三角形的对应边、对应角相等）,AD,、,A,1,D,1,分别是,ABC,、,A,1,B,1,C,1,的高（已知）,ADB=A,1,D,1,B,1,= 90.,在,ABC,和,A,1,B,1,C,1,中,B=B,1,（已证）,ADB=A,1,D,1,B,1,（已证）,AB=A,1,B,（已证）,ABCA,1,B,1,C,（,AAS,）,AD=A,1,D,1,（全等三角形的对应边相等）,全等三角形对应边上的中线,角平分线呢？,练一练,1,2,、如图,6,，已知：,A,90,，,AB=BD,，,EDBC,于,D.,求证：,AE,ED,提示：找两个全等三角形，需连结,BE.,图,6,知识点一：等腰三角形的性质定理,性质,：,1,、等腰三角形的,相等，即等边对,2,、等腰三角形的,、,、,互相重合；即“三线合一”,3,、,等腰三角形两底角的平分线,，两腰上的中 线,两腰上的高,；,判定,：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对,。,两个底角,等角,顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,等边,相等,相等,相等,已知,:,如图,点,D,E,在,ABC,的边,BC,上，,AD=AE,AB=AC.,求证,:BD=CE.,A,B,C,E,D,F,练一练,知识点二、等边三角形性质和判定定理,性质定理,：,等边三角形的,都相等，,都相等，并且每个角都等于,；,判定定理,：,一个角等于,的,为等边三角形。,三个内角都为,的三角形是等边三角形。,三条边,三个角,60,等腰三角形,60,60,A,B,C,D,E,F,已知：如图，在等边三角形,ABC,的三边上分别取点,D,，,E,，,F,，使得,AD=BF=CE.,求证：,DEF,是等边三角形。,练一练,A,B,C,D,E,F,知识点三、与直角三角形有关的定理,1,、直角三角形的,互余。,2,、有两个锐角,的三角形是直角三角形。,3,、在直角三角形中，如果一个锐角等于,30,，那么它所对的直角边等于,的,；,4,、勾股定理：直角三角形,的平方和等于,的平方。,5,、,和,对应相等的两个直角三角形全等。,( ),6,、勾股定理的逆定理：,两锐角,互余,斜边,一半,斜边,一直角边,HL,两条,直角边,斜边,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。,1,、如下图,在,ABC,中， ,ACB=90,0,， ,A=30,0,，,CD AB,于点,D,试着推导出,BD,与,AD,的数量关系。,动脑筋，能力提升,A,B,C,D,2,、如图，已知,ACB=BDA=90,0,要使,ACB,BDA,，还需要添加什么条件？请你选择其中的一个加以证明。,开放探究题,知识点四、反证法,反证法的步骤是什么？,第一步是假设命题结论不成立；,第二步是推导，从假设出发，经过推理得出与定义、基本事实、已有的定理或者已知条件相矛盾的结果。,第三步是下结论，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。,求证：等腰三角形的底角必为锐角。,A,已知：,ABC,中，,AB=AC,。,求证：,B. C,均为锐角,B,C,我思考,我进步,定理,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等,.,AC=BC,MNAB,P,是,MN,上任意一点,(,已知,),PA=PB(,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等,).,A,C,B,P,M,N,逆定理,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,.,如上图,PA=PB(,已知,),点,P,在,AB,的垂直平分线上,(,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,).,知识点五：线段垂直平分线,定理,:,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,.,如图,在,ABC,中,c,a,b,分别是,AB,BC,AC,的垂直平分线,c,a,b,相交于一点,P,且,PA=PB=PC(,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等,).,A,B,C,P,a,b,c,2.,如图,在,ABC,中,已知,AC=27,AB,的垂直平分线交,AB,于点,D,交,AC,于点,E,BCE,的周长等于,50,求,BC,的长,.,B,A,E,D,C,练一练,3.,如图所示，在,ABC,中，,B,22.5,AB,的垂直平分线交,BC,于点,D,，,DFAC,于点,F,并与,BC,边上的高,AE,交于,G.,求证：,EG,EC.,1,如图,S1,1,，在,ABC,中，,DE,垂直平分,AC,交,AB,于,E,，,A,30,，,ACB,80,，则,BCE,_.,50,知识点六：角平分线,定理,：角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E.,PD=PE.,O,C,B,1,A,2,P,D,E,逆定理,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,.,如图,PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E(,已知,),点,P,在,AOB,的平分线上,.(,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上,).,定理,:,三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。,A,B,C,P,D,E,F,如图,AN,CM,BO,分别是,ABC,的角平分线,PDAB,PEBC,PFAC,AN,BO,CM,交于,P,点,PD=PE=PF.,M,N,O,1,、如图,S1,8,，,AD,BC,，点,E,在线段,AB,上，,ADE,CDE,，,DCE,ECB,.,求证：,CD,AD,BC,.,图,S1,8,练一练,解析,结论是,CD,AD,BC,，可考虑用,“,截长补短法,”,中的,“,截长,”,，即在,CD,上截取,CF,CB,，只要再证,DF,DA,即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的,图,S1,9,证明：在,CD,上截取,CF,BC,，如图,S1,9,，,在,FCE,与,BCE,中，,FCEBCE(SAS),，,2,1.,ADBC,，,ADC+,BCD,180.,又,ADE,CDE,，,DCE,CDE,90,，,2,3,90,，,1,4,90,，,3,4.,在,FDE,与,ADE,中，,FDEADE(ASA),，,DF,DA.,CD,DF+CF,，,CD,AD+BC.,2,、如图，在,ABC,中，,AC=BC,，,C=90,0,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,，垂足为,E,。,求证：,AB=AC+CD,。,A,C,B,D,E,3,、如图所示，,ABCD,，,B=90,，,E,是,BC,的中点，,DE,平分,ADC,，求证：,AE,平分,DAB,。,1,、,等腰三角形的性质和判定定理,2,、,等边三角形的性质和判定定理,3,、,直角三角形的性质和判定定理,4,、,反证法的步骤,5,、线段垂直平分线的性质定理及逆定理,6,、角平分线的性质定理及逆定理,你学会了吗？,数学家苏步青说：,学习数学要多做习题，边做边思索。,先知其然，然后知其所以然。,