第 二 章,恒定电场,第二章 恒定电场,Steady Electric Field,导电媒质中的电流,基本方程 分界面衔接条件 边值问题,导电媒质中恒定电场与静电场的比拟,电导和接地电阻,电源电动势与局外场强,第二章 恒定电场Steady Electric Field,通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，,电荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：,恒定,），,它与静电场有相似之处。,本章要求:,熟练掌握静电比拟法和电导的计算。,理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。,掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。,通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电,基本方程,E,的旋度,边值问题,边界条件,电 位,一般解法,电导与接地电阻,特殊解(静电比拟),恒定电场知识结构,基本物理量,J、 E,欧姆定律,J,的散度,基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导,2.1.1,电流,(Current),2.1,导电媒质中的电流,三种电流：传导电流，运流电流，位移电流,传导电流电荷在导电媒质中的定向运动。,位移电流随时间变化的,电场,产生的假想电流。,定义：单位时间内通过某一横截面的电量。,A,运流电流带电粒子在真空中的,定向,运动。,可以存在于非导体区域。例如：阴极电子发射,2.1.1 电流 (Current)2.1 导电媒质,电流形式及电流密度：,线电流（沿截面可忽略的导线流动）,面电流（沿厚度可忽略的面上流动）,体电流（在体积中流动）,2.1.2,电流密度和元电流,电流形式及电流密度： 2.1.2 电流密度和元电流,1,. 电流面密度,J,电流,体电荷 以速度,v,作匀速运动形成的电流。,电流密度（又称为电流面密度）,图2.1.1 电流面密度矢量,图2.1.2 电流的计算,1. 电流面密度 J电流体电荷 以速度 v 作匀,2,. 电流线密度,K,电流,e,n,是垂直于,d,l,，且通过,d,l,与曲面相切的单位矢量。,面电荷 在曲面上以速度,v,运动形成的电流。,图2.1.3 电流线密度及其通量,电流线密度,2. 电流线密度 K电流en 是垂直于 dl，且通过 dl,3.,元电流的概念,元电流是元电荷,以速度,v,运动形成的电流,工程应用,媒质磁化后的表面磁化电流；,同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；,高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。,图2.1.4 媒质的磁化电流,元电流段,3. 元电流的概念元电流是元电荷以速度 v 运动形成的电流,2.1.3,欧姆定律的微分形式,J,与,E,共存，且,方向一致。,简单证明：,欧姆定律,微分形式。,在线性媒质中,对 两边取面积分,左边,右边,欧姆定律,积分形式。,所以,图2.1.5,J,与,E,之关系,电导率与电阻率的关系： ， （电阻率）， （电导率）。,2.1.3 欧姆定律的微分形式J 与 E 共存，且方向一致。,2.1.4,焦尔定律的微分形式,导体有电流时，必伴随功率损耗（dt时间内，导体每一单元体积dV内，由于电子运动而转换成得热能），其功率体密度为,W,焦耳定律,微分形式,焦耳定律,积分形式,单位体积的功率，单位：瓦特/米3,W/m3,2.1.4 焦尔定律的微分形式导体有电流时，必伴随功率损耗（,提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为,电源,。,2.2.1 电源,(Source),2.2,电源电动势与局外场强,图2.2.1 恒定电流的形成,提供非静电力将其它形式的能转为电能的装置称为电源,电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。,2.2.2,电源电动势,(,Source EMF,),1、局外力 ：电源中使正、负电极之间的电压维持恒定，而使得,正、负电荷分离开来的力,，称为局外力 (注意：“,分开的力,”的方向）。,2、局外场强 ：电源中单位正电荷所受的,局外力,假设为一个,等效场强,，这个场强称为局外场强 。区别于库仑场强 。 的方向由电源的负极指向正极，与库仑场强 方向相反。,电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。2.2.2 电,3、电源电动势：,4、电源外的场强：库仑场强,5、电源内的场强：库仑场强 与局外场强 两种场强之和（两种场强大小相等，方向相反），电源内的合成场强：,3、电源电动势：4、电源外的场强：库仑场强5、电源内的场强：,因此，对闭合环路积分,局外场,E,e,是非保守场。,图2.2.2 电源电动势与局外场强,总场强,恒定电场的研究：导体周围介质中的恒定电场(同静电场的求解方法);以及导电媒质中的电场(本章所讨论的内容).,因此，对闭合环路积分局外场 Ee 是非保守场。图2.2.2,2.3.1,基本方程,2.3,基本方程分界面衔接条件 边值问题,一、积分形式的基本方程：（两个基本场量的面积分和线积分）,1、恒定电场传导电流连续性方程：,电荷守恒定律：（任一闭合面流出的电流等于闭合面内自由电荷减少率）,电荷守恒原理,亦称电流连续性方程,2.3.1 基本方程2.3 基本方程分界面衔接条件,恒定电场传导电流连续性方程,：（恒定电场电荷分布恒定，闭合面内自由电荷减少率为0）,恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。,故,散度定理,恒定电场传导电流连续性方程：（恒定电场电荷分布恒定，闭合面,2、,电场强度的环路线积分,：,环路经过电源：,环路不经过电源：,2、电场强度的环路线积分：环路不经过电源：,二、微分形式的基本方程：（由积分形式的基本方程利用散度定理和斯托克斯公式推导出）,1、电源外导电媒质的恒定电场基本方程的微分形式：,2、场量之间的关系（或构成方程）：,二、微分形式的基本方程：（由积分形式的基本方程利用散度定理和,结论：,恒定电场是无源无旋场。,三,、 恒定电场（电源外）的基本方程,积分形式,微分形式,构成方程,结论： 恒定电场是无源无旋场。三、 恒定电场（电源外）的基本,2.3.2,分界面的衔接条件,说明 分界面上,E,切向分量连续，,J,的法向分量连续。,图2.3.1 电流线的折射,由,得,在分界面上无电源，即,一、边界条件,2.3.2 分界面的衔接条件 说明 分界面上,图2.3.1 电流线的折射,二、恒定电场的折射定律及特殊分界面：,1、恒定电场的折射定律：,2、良导体（ ）和不良导体（ ）的分界面：,不良导体中体电流密度垂直于导体表面：,不良导体中的电场强度也垂直于导体表面，电场强度与电流密度同方向：,图2.3.1 电流线的折射二、恒定电场的折射定律及特殊分界面,3、 导体（第一种媒质）与理想介质（第二种媒质）分界面：,理想介质的 垂直于导体表面。,恒定电场的导体中的 ；,与静电场的导体中的 不同。,图2.3.1 电流线的折射,3、 导体（第一种媒质）与理想介质（第二种媒质）分界面：图2,例,2.3.1,导体与理想介质分界面上的衔接条件。,解:,在理想介质中,空气中,导体中,不同导体分界面 ？,提问,：,表明 1,分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。,表明,2,导体与理想介质分界面上必有面电荷。,图2.3.2 导体与理想介质分界面,例2.3.1 导体与理想介质分界面上的衔接条件。 解:,不同导体分界面 ？,提问,：,不同导体分界面 ？ 提问：,若 （理想导体），导体内部电场为零，电,流分布在导体表面，导体不损耗能量。,导体周围介质中的电场：,表明,3,电场切向分量不为零，导体非等位体，导体,表面非等位面。,图2.3.3 载流导体表面的电场,若 （理想导体），导体内部电场为零，电导体,2.3.3,边值问题,分界面衔接条件,拉普拉斯方程,得,由基本方程出发,由,得,常数,恒定电场中是否存在泊松方程？,思考,2.3.3 边值问题分界面衔接条件拉普拉斯方程得由基本方程,例2.3.2,试用边值问题求解电弧片中电位、电场及导体分界面上的面电荷分布。,( 区域）,解,: 选用圆柱坐标系，边值问题为：,( 区域）,图2.3.4 不同媒质弧形导电片,例2.3.2 试用边值问题求解电弧片中电位、电,电位,电场强度,电荷面密度,通解,电位,2.4,导电媒质中恒定电场与静电场的比拟,静电场,恒定电场（电源外）,恒定电场,E,静电场,E,D,两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。,2.4 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟静电场恒定电场（,两种场,可以比拟的条件,微分方程相同；,场域几何形状及边界条件相同；,媒质分界面满足,两种场，具有,相同的场图,及,相同的等位面,，且 线与 线分布一致，一种场的,计算及实验结果,可推广到另一种场。可将静电场的镜象法推广至恒定电场：,两种场可以比拟的条件微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同,镜像法的比拟,图2.4.1 静电场与恒定电流场的镜像法比拟,静,电,场,恒,定,电,场,镜像法的比拟图2.4.1 静电场与恒定电流场的镜像法比,当第一种媒质为土壤，第二种媒质为空气（ ）,当第一种媒质为空气（ ），第二种媒质为土壤：,特例：,当第一种媒质为土壤，第二种媒质为空气（ ）当第一,（1）介质内的电场,例2-1：,（2）分界面上的自由电荷面密度,同轴电缆的内导体半径为a,外导体的内半径为c，其中填充两种漏电介质，介质分界面是同轴圆柱面，分界面的半径为b，内外两层介质的介电常数分别为,，电导率分别为 ，当外加恒定电压 时（内导体接正极），求,由于电缆内、外导体的电导率远大于其间填充媒质的电导率，所以在计算内外导体间导电媒质中心恒定电场时，可以把内外导体视为等位体。由对称性可知，媒质中恒定电场仅有径向分量，且场强和电流密度只与半径有关。,（1）介质内的电场例2-1：（2）分界面上的自由电荷面密度同,例2-2 球形电容器的内外半径分别为5cm,10cm，加有电压100伏，电容器内有两层均匀介质，其分界面也是同心球面，半径为8cm，电介质的电导率分别为,。求球面之间的电流密度，电场强度和电位。,例2-2 球形电容器的内外半径分别为5cm,10cm，,2.5.1,电导,1. 通过电流场计算电导,2.5,电导与接地电阻,或设,思路,设,2.5.1 电导1. 通过电流场计算电导2.5 电导与接,当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。,2.,比拟法,即,当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。 2. 比拟法即,例2.5.1,求,图示,同轴电缆,的绝缘电阻。,解,设,电导,用静电比拟法求解,由静电场,根据,关系式，得,绝缘电阻,图2.5.1 同轴电缆横截面,例2.5.1 求图示同轴电缆的绝缘电阻。解设电导用静电比拟法,通解 ，代入边界条件，得,电位函数,解,取圆柱坐标系 ，边值问题,电场强度,图2.5.2 弧形导电片,例2.5.2,已知导电片厚度为,h,，,当,试求电导片的电导。,通解 ，代入边界条件，得电位函数解,电流,电导,电流密度,电场强度,电流电导电流密度电场强度,图2.5.3 深埋球形接地器,1. 深埋球形接地器,2.5.2,接地电阻,解法一,通过电流场计算电阻,解法二,比拟法,接地电阻越大越好吗？如何改变,R,?,思考,由接地器电阻、接地器与土壤之间的接触电阻、土壤电阻构成。,接地电阻：,图2.5.3 深埋球形接地器1. 深埋球形接地器2.5.,2. 直立管形接地器,解:,考虑地面的影响，可用镜像法。,实际电导,即,在静电场中,比拟法,图2.5.4 直立管形接地器,2. 直立管形接地器解: 考虑地面的影响，可用镜像法。实,3,. 非深埋的球形接地器,解,用镜像法,接地器接地电阻,解,4,. 浅埋半球形接地器,设,I,图,2.5.5,非深埋的球形接地器,图2.5.6 浅埋半球形,接地器,I,3. 非深埋的球形接地器解 用镜像法接地器接地电阻,例：两个平行圆柱形铜棒，轴线间距离为50厘米，直径均为1厘米，垂直通过厚度为1厘米的碳质平面盘，盘面可以认为很大。已知碳盘的电导率为 ，求铜棒之间碳盘的电阻。,提示：铜棒的电导率远大于碳的电导率，所以铜棒可视为等位体，其表面为等位面，当轴线间距离远大于铜棒半径时，可近似认为等效电轴就是铜棒的几何轴线。可用静电场的电轴法球壳单位长度的电容。,例：两个平行圆柱形铜棒，轴线间距离为50厘米，直径均为1厘米,为危险区半径,2.5.3 跨步电压,(,接地体附近有大电流流过，在人体两足间产生的电压,),以浅埋半球接地器为例,人体的安全电压,U,0,40V,图,2.5.7,半球形接地器的危险区,人体电流：8mA危险,30mA危及生命。,为危险区半径2.5.3 跨步电压 (接地体附近有大电流流,一个半径为a的半球形接地导体埋于电导率为 的土壤中，,（1）求接地电阻,一个半径为a的半球形接地导体埋于电导率为 的土壤中，,同轴电缆,返 回,同轴电缆返 回,屏蔽室接地电阻（深度 20 m）,下 页,返 回,屏蔽室接地电阻（深度 20 m）下 页返 回,高压大厅网状接地电阻（深度1米）,上 页,返 回,高压大厅网状接地电阻（深度1米）上 页返 回,1. 干电池和钮扣电池（化学电源）,电 源,干电池电动势1.5V，仅取决于,（糊状）化学材料，其大小决定储存的能量，化学反应不可逆。,钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。,干电池,钮扣电池,下 页,返 回,1. 干电池和钮扣电池（化学电源）电 源,氢氧燃料电池示意图,2. 燃料电池（化学电源）,电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约40%45%的化学能转变为电能。 实验阶段加燃,料可继续工作。只要不断供,给燃料，就可以不断输出电,能，化学反应结果生成水，,以水蒸汽的形式排走。,燃料电池属环保产品，,排出的水可以用作饮料或,淋浴用。,下 页,上 页,返 回,氢氧燃料电池示意图2. 燃料电池（化学电源）,3. 太阳能电池（光能电源）,一块太阳能电池电动势0.6V。,太阳光照射到PN结上，会形成一,个从N区流向P区的,电流,。约 11%,的光能转变为电能 ，故常用太阳,能电池板。,一个50cm,2,太阳能电池的电动势为0.6V，电流为0.1A。,下 页,上 页,返 回,太阳能电池示意图,3. 太阳能电池（光能电源） 一块太阳能电池,蓄电池示意图,4. 蓄电池（化学电源）,电池电动势2V。使用时，电池放电，当电解液浓度小于一定值时，电动势低于2V，常要充电，化学反应可逆。,蓄电池进行化学反应,对外电路放电，当硫酸浓,度降到一定值时，电动势,小于 2 V ，要对蓄电池充,电（还原反应）。,上 页,返 回,蓄电池示意图4. 蓄电池（化学电源） 电池电,