,剖析题型,提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考,明确考向,9.5,圆与圆的位置关系及圆的应用,第九章平面解析几何,全国名校高考数学优质学案、专题汇编（附详解）,9.5圆与圆的位置关系及圆的应用第九章平面解析几何全国,基础知识,自主学习,课时作业,题型分,类,深度剖析,内容索引,基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引,基础知识,自主学习,基础知识自主学习,圆与圆的位置关系,设圆,O,1,：,(,x,a,1,),2,(,y,b,1,),2,(,r,1,0),，,圆,O,2,：,(,x,a,2,),2,(,y,b,2,),2,(,r,2,0).,知识梳理,方法,位置关系,几何法：圆心距,d,与,r,1,，,r,2,的关系,代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况,外离,_,_,外切,_,_,d,r,1,r,2,d,r,1,r,2,无解,一组实数解,圆与圆的位置关系知识梳理 方法几何法：圆心距d与r1，r2,相交,_,_,内切,_,_,内含,_,_,|,r,1,r,2,|,d,r,1,r,2,两组不同的实数解,d,|,r,1,r,2,|(,r,1,r,2,),一组实数解,0,d,0),，点,N,为圆,M,上任意一点,.,若以,N,为圆心、,ON,为半径的圆与圆,M,至多有一个公共点，则,a,的最小值为,_,.,题型一两圆位置关系的判定,师生共研,答案,解析,由题意，得圆,N,与圆,M,内切或内含，,即,MN,ON,1,ON,2,，又,ON,OM,1,，,解析,因此,a,的最小值为,3.,3,典例(1)(优质试题南京三模)在平面直角坐标系xOy中，,(2),已知圆,C,1,：,(,x,a,),2,(,y,2),2,4,与圆,C,2,：,(,x,b,),2,(,y,2),2,1,外切,，,则,ab,的最大值为,_,.,答案,解析,由圆,C,1,与圆,C,2,外切，,解析,(2)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(,引申探究,1.,若将本例,(2),中的,“,外切,”,变为,“,内切,”,，求,ab,的最大值,.,解答,当且仅当,a,b,时等号成立，,引申探究1.若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求ab的,2.,若将本例,(2),条件,“,外切,”,变为,“,相交,”,，求公共弦所在的直线方程,.,解答,解,由题意把圆,C,1,，圆,C,2,的方程都化为一般方程，得,圆,C,1,：,x,2,y,2,2,ax,4,y,a,2,0,，,圆,C,2,：,x,2,y,2,2,bx,4,y,b,2,3,0,，,由,得,(2,a,2,b,),x,3,b,2,a,2,0,，,即,(2,a,2,b,),x,3,b,2,a,2,0,为所求公共弦所在直线方程,.,2.若将本例(2)条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为,(1),确定两圆的圆心坐标和半径长,.,(2),利用平面内两点间的距离公式求出圆心距,d,，求,r,1,r,2,，,|,r,1,r,2,|.,(3),比较,d,，,r,1,r,2,，,|,r,1,r,2,|,的大小，写出结论,.,思维升华,判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为思维升华,跟踪训练,已知两圆,x,2,y,2,2,x,6,y,1,0,和,x,2,y,2,10,x,12,y,m,0.,(1),m,取何值时两圆外切；,解,两圆的标准方程分别为,(,x,1),2,(,y,3),2,11,，,(,x,5),2,(,y,6),2,61,m,，圆心,分别为,M,(1,3),，,N,(5,6),，,当两圆外切时，,解答,跟踪训练已知两圆x2y22x6y10和x2y2,(2),m,取何值时两圆内切；,解答,解,当两圆内切时，因为定圆的,半径,小于,两圆圆心间距离,5,，,(2)m取何值时两圆内切；解答解当两圆内切时，因为定圆的半,(3),求,m,45,时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长,.,解答,解,当,m,45,时两圆相交,，两,圆的公共弦所在直线方程为,(,x,2,y,2,2,x,6,y,1),(,x,2,y,2,10,x,12,y,45),0,，,即,4,x,3,y,23,0,，所以,公共弦长为,(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解,典例,已知圆,C,：,x,2,y,2,10,x,10,y,0,与圆,M,：,x,2,y,2,6,x,2,y,40,0,相交于,A,，,B,两点,.,(1),求圆,C,与圆,M,的公共弦所在直线的方程；,题型二两圆的公共弦问题,师生共研,解,直线,AB,的方程为,x,2,y,2,10,x,10,y,(,x,2,y,2,6,x,2,y,40),0,，,即,4,x,3,y,10,0.,解答,典例已知圆C：x2y210x10y0与圆M：x2,(2),求,AB,的长,.,解,由题意知，圆,C,的标准方程为,(,x,5),2,(,y,5),2,50,，,解答,(2)求AB的长.解由题意知，圆C的标准方程为(x5)2,当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程,.,思维升华,当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就,跟踪训练,(1),圆,C,1,：,x,2,y,2,2,x,8,0,与圆,C,2,：,x,2,y,2,2,x,4,y,4,0,的公共弦长为,_,.,答案,解析,解析,由圆,C,1,与圆,C,2,的公共弦所在的直线,l,的方程为,x,y,1,0,，,圆,C,1,的半径为,r,1,3,，,跟踪训练(1)圆C1：x2y22x80与圆C2：x,(2),已知圆,C,1,：,x,2,y,2,6,x,6,0,，圆,C,2,：,x,2,y,2,4,y,6,0,，则公共弦所在直线的方程为,_,_,_,.,答案,解析,3,x,2,y,0,(2)已知圆C1：x2y26x60，圆C2：x2y,解析,圆,C,1,：,x,2,y,2,6,x,6,0,，,即,(,x,3),2,y,2,15,，圆心坐标为,(3,0),，半径,r,1,；,圆,C,2,：,x,2,y,2,4,y,6,0,，,即,x,2,(,y,2),2,10,，圆心坐标为,(0,2),，半径,r,2,.,圆,C,1,与圆,C,2,相交,.,由圆,C,1,：,x,2,y,2,6,x,6,0,，,圆,C,2,：,x,2,y,2,4,y,6,0,，,得,6,x,4,y,0,，即,3,x,2,y,0.,两圆公共弦所在直线的方程为,3,x,2,y,0.,解析圆C1：x2y26x60，圆C1与圆C2相交,命题点,1,利用两圆位置关系求参数,典例,如果圆,C,：,x,2,y,2,2,ax,2,ay,2,a,2,4,0,与圆,O,：,x,2,y,2,4,总相交，那么实数,a,的取值范围是,_,.,题型三圆的应用,多维探究,解析,答案,解析,圆,C,的标准方程为,(,x,a,),2,(,y,a,),2,4,，,圆心,坐标为,(,a,，,a,),，半径为,2.,命题点1利用两圆位置关系求参数题型三圆的应用多维探究解析,命题点,2,圆的实际应用,典例,(优质试题,江苏如东高级中学期中,),如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为,C,，与地面的接触点为,G,.,与圆形标志物在同一平面内的地面上点,P,处有一个观测点，且,PG,50 m.,在观测点正前方,10 m,处,(,即,PD,10 m),有一个高为,10 m(,即,ED,10 m),的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从,A,到,F,的圆弧,.,命题点2圆的实际应用,(1),若圆形标志物半径为,25 m,，以,PG,所在直线为,x,轴，,G,为坐标原点，建立直角坐标系，求圆,C,和直线,PF,的方程；,解,答,(1)若圆形标志物半径为25 m，以PG所在直线为x轴，G为,解,建系后，圆,C,的方程为,x,2,(,y,25),2,25,2,.,设直线,PF,的方程为,y,k,(,x,50)(,k,0),，,因为直线,PF,与圆,C,相切,，,即,4,x,3,y,200,0.,解建系后，圆C的方程为x2(y25)2252.即4x,(2),若在点,P,处观测该圆形标志的最大视角,(,即,APF,),的正切值,为,，,求,该圆形标志物的半径,.,解,答,(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即APF)的正切,解,以,PG,所在直线为,x,轴，,G,为坐标原点建立直角坐标系，,设直线,PF,的方程为,y,k,(,x,50)(,k,0),，圆,C,的方程为,x,2,(,y,r,),2,r,2,(,r,0,).,由已知得直线,PE,的倾斜角,为,.,所以直线,PF,的方程为,y,(,x,50),，即,40,x,9,y,2 000,0.,解得,r,40,或,62.5(,舍,).,故该圆形标志物的半径为,40 m.,解以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，所以直,(1),利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和,r,1,r,2,的关系,.,(2),日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决,.,思维升华,(1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径,跟踪训练,(优质试题,江苏,),如图，为保护河上古桥,OA,，规划建一座新桥,BC,，同时设立一个圆形保护区,.,规划要求：新桥,BC,与河岸,AB,垂直，保护区的边界为圆心,M,在线段,OA,上并与,BC,相切的圆，且古桥两端,O,和,A,到该圆上任意一点的距离均不少于,80 m.,经测量，点,A,位于点,O,正北方向,60 m,处，点,C,位于点,O,正东方向,170 m,处,(,OC,为河岸,),，,tan,BCO,.,(,1),求新桥,BC,的长,；,解答,跟踪训练(优质试题江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建,解,如图，过点,B,作,BE,OC,于点,E,，过,点,A,作,AF,BE,于点,F,.,ABC,90,，,BEC,90,，,ABF,BCE,，,tan,ABF,tan,BCO,.,设,AF,4,x,(m),，则,BF,3,x,(m),，,AOE,AFE,OEF,90,，,OE,AF,4,x,(m),，,EF,AO,60(m),，,BE,(3,x,60)m,.,解如图，过点B作BEOC于点E，过点A作AFBE于点F,解得,x,20.,BE,120 m,，,CE,90 m.,综上所述，,BC,150 m.,解得x20.,(2),当,OM,多长时，圆形保护区的面积最大？,解答,(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解答,解,如图，设,BC,与,M,切于点,Q,，延长,QM,，,CO,交于点,P,，,POM,PQC,90.,PMO,BCO,.,设,M,的半径为,R,，,解如图，设BC与M切于点Q，延长QM，CO交于点P，设,A,，,O,到,M,上任一点的距离不少于,80 m,，,解得,10,x,35.,当且仅当,x,10,时,R,取到最大值,.,当,OM,10 m,时，保护区面积最大，,综上所述，当,OM,10 m,时，保护区面积最大,.,A，O到M上任一点的距离不少于80 m，解得10x3,高考中与圆交汇问题的求解,高频小考点,与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点,.,与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求,点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面,.,解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质,.,考点分析,高考中与圆交汇问题的求解高频小考点与圆有关的最值问题及直线与,一、与圆有关的最值问题,典例,1,(1),已知点,A,，,B,，,C,在圆,x,2,y,2,1,上运动，且,AB,BC,.,若点,P,的坐标为,(2,0),，,则,的,最大值为,_,.,解析,答案,7,一、与圆有关的最值问题解析答案7,解析,A,，,B,，,C,在圆,x,2,y,2,1,上，且,AB,BC,，,AC,为圆的直径，,解析A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，,(2),过点,(,，,0),引直线,l,与曲线,y,相交,于,A,，,B,两点，,O,为坐标原点,，,当,AOB,的面积取最大值时，直线,l,的斜率为,_,.,解析,答案,(2)过点( ，0)引直线l与曲线y,圆与圆的位置关系及圆的应用课件,二、直线与圆的综合问题,典例,2,(1),已知直线,l,：,x,ay,1,0(,a,R,),是圆,C,：,x,2,y,2,4,x,2,y,1,0,的对称轴，过点,A,(,4,，,a,),作圆,C,的一条切线，切点为,B,，则,AB,_,.,解析,解析,由于直线,x,ay,1,0,是圆,C,：,x,2,y,2,4,x,2,y,1,0,的对称轴，,圆心,C,(2,1),在直线,x,ay,1,0,上，,2,a,1,0,，,a,1,，,A,(,4,，,1).,AC,2,36,4,40.,又,r,2,，,AB,2,40,4,36.,AB,6.,答案,6,二、直线与圆的综合问题解析解析由于直线xay10是圆,(2),已知直线,y,ax,3,与圆,x,2,y,2,2,x,8,0,相交于,A,，,B,两点，点,P,(,x,0,，,y,0,),在直线,y,2,x,上，且,PA,PB,，则,x,0,的取值范围为,_,_,_,.,解析,解析,由条件得圆心,C,(,1,0),，,由,PA,PB,，,CA,CB,，得,PC,l,，,得,1,x,0,0,或,0,x,0,2.,答案,(,1,0)(0,2),(2)已知直线yax3与圆x2y22x80相交于,三、圆与圆的位置关系问题,典例,3,在平面直角坐标系,xOy,中，若与点,A,(2,2),的距离为,1,且与点,B,(,m,0),的距离为,3,的直线恰有两条,，,则实数,m,的取值范围是,_,.,答案,解析,解析,由题意以,A,(2,2),为圆心,，,1,为半径的圆与以,B,(,m,0),为圆心,，,3,为半径的圆相交,，,所以,4(,m,2),2,416,，,三、圆与圆的位置关系问题答案解析解析由题意以A(2,2)为,课时,作业,课时作业,1.,圆,(,x,2),2,y,2,4,与圆,(,x,2),2,(,y,1),2,9,的位置关系为,_,.,基础保,分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,又,r,1,2,，,r,2,3,，,r,2,r,1,1,d,0).,解得,b,1,，,圆,N,的标准方程为,(,x,6),2,(,y,1),2,1.,12345678910111213141516解圆M的方程,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,(2),设平行于,OA,的直线,l,与圆,M,相交于,B,，,C,两点，且,BC,OA,，求直线,l,的方程；,12345678910111213141516解答(2)设平,解得,m,5,或,m,15.,直线,l,的方程为,y,2,x,5,或,y,2,x,15.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解,k,OA,2,，,可设,l,的方程为,y,2,x,m,，即,2,x,y,m,0.,由题意，圆,M,的圆心,M,(6,7),到直线,l,的距离为,解得m5或m15.123456789101112131,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3),设点,T,(,t,0),满足：存在圆,M,上的两点,P,和,Q,，,使得,，,求实,数,t,的取值范围,.,解答,12345678910111213141516(3)设点T(,又,P,，,Q,为圆,M,上的两点，,PQ,2,r,10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又P，Q为圆M上的两点，PQ2r10.1234567,