单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、罗尔,(,Rolle,),定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西,(Cauchy),中值定理,中值定理,一、罗尔,(,Rolle,),定理,满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),使,证,:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m.,若,M,=,m,则,因此,在,(,a,b,),内至少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,M,m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意,:,1),定理条件条件不全具备,结论不一定成立,.,例如,则由,费马引理得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使,2),定理条件只是充分的,.,本定理可推广为,在,(,a,b,),内可导,且,在,(,a,b,),内至少存在一点,证明提示,:,设,证,F,(,x,),在,a,b,上满足罗尔定理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,(1),在区间,a,b,上连续,满足,:,(2),在区间,(,a,b,),内可导,至少存在一点,使,思路,:,利用,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,证,:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即,定理结论成立,.,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,三、柯西,(Cauchy),中值定理,分析,:,及,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,至少存在一点,使,满足,:,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,证,:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,两个,不,一定相同,错,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论,.,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,几个中值定理的关系,证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如,证明拉格朗日定理,:,要构造满足罗尔定理条件的辅助函数,.,方法,1.,直观分析,由图可知,设辅助函数,(,C,为任意常数,),方法,2.,逆向分析,要证,即证,原函数法,辅助函数,同样,柯西中值定理要证,即证,原函数法,设,*,中值定理的条件是充分的,但非必要,.,可适当减弱,.,因此,例如,设,在,内可导,且,则至少存在一点,使,证,:,设辅助函数,显然,在,上连续,在,内可导,由罗尔,定理可知,存在一点,使,即,*,中值定理的统一表达式,设,都在,上连续,且在,内可导,证明至少存在一点,使,证,:,按三阶行列式展开法有,利用逆向思维设辅助函数,显然,F,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,因此,由罗尔定理知至少存在一点,使,即,说明,设,都在,上连续,且在,内可导,证明至少存在一点,使,若取,即为罗尔定理,;,若取,即为拉格朗日中值定理,;,若取,即为柯西中值定理,;,(,自己验证,),中值定理的主要应用与解题方法,中值定理,原函数的性质,导函数的性质,反映,反映,中值定理的主要应用,(1),利用中值定理求极限,(2),研究函数或导数的性质,(3),证明恒等式,(4),判定方程根的存在性和唯一性,(5),证明有关中值问题的结论,(6),证明不等式,解题方法,:,从结论入手,利用逆向分析法,选择有关中值定,理及适当设辅助函数,.,(1),证明,含一个中值的等式,或证,根的存在,常用,罗尔定理,此时可用原函数法设辅助函数,.,(2),若结论中涉及到含,一个中值,的,两个不同函数,可考虑用柯西中值定理,.,注：（,1,）几个中值定理中最重要,、,最常用,的是,:,罗尔中值定理。,（,2,）应用中值定理的关键为：,如何构造合适的辅助函数？（难点、重点）,(3),若结论中含,两个,或,两个以上中值,必须多次,使用中值定理,.,(4),若已知条件或结论中,含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,有时也可考虑,对导数用中值定理,.,(5),若结论为恒等式,先证变式导数为,0,再利用,特殊点定常数,.,(6),若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的,技巧,.,构造辅助函数的方法,(1),不定积分求积分常数法,.,例,1.,证明方程,有且仅有一个小于,1,的,正实根,.,证,:,1),存在性,.,则,在,0,1,连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于,1,的正根,2),唯一性,.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真,!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.2.,例题选讲,例,2.,求证存在,使,设,可导，且,在,连续，,证,：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,辅助函数,如何想出来的？,例,3.,设函数,在,内可导,且,证明,在,证,:,取点,再取异于,的点,对,在以,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(,界于 与 之间,),令,则对任意,即,在,内有界,.,内有界,.,例,4.,设函数,在,上连续,在,但当,时,内可导,且,求证对任意,自然数,n,必有,使,分析,:,在结论中换 为,得,积分,因,所以,证,:,设辅助函数,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此必有,使,即,不定积分,求积分常数法,!,例,5.,设函数,在,上二阶可导,且,证明至少存在一点,使,分析,:,在结论中将,换为,得,积分,证,:,设辅助函数,因,在,上满足罗尔定理条件,所以存在,使,因此,在,上满足,罗尔定理条件,故必存在,使,即有,不定积分,求积分常数法,!,例,6.,设,在,上连续,在,证明存在,内可导,且,使,证,:,方法,1,.,因为所证结论左边为,设辅助函数,由于,上满足拉氏中值定理条件,且,易推出所证结论成立,.,在,方法,2.,令,因此可考虑设辅助函数,由于,在,上满足罗尔定理条件,故存在,使,由此可推得,故所证结论成立,.,常数变易法,*例,7.,设,在,上连续,在,证明存在,内可导,且,使,证,:,转化为证,设辅助函数,由于它在,满足,拉氏中值定理条件,即证,因此存在,使,再对,转化为证,在,上用拉氏中值定理,则存在,使,因此,*例,8.,设,在,上连续,在,试证对任意给定的正数,内可导,且,存在,证,:,转化为证,因,即,由连续函数定理可知,存在,使,使,因此,对,分别在,上用拉氏中值定理,得,即,例,10.,设,至少存在一点,使,证,:,结论可变形为,设,则,在,0,1,上满足柯西中值,定理条件,因此在,(0,1),内至少存在一点,使,即,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,11.,试证至少存在一点,使,证,:,法,1,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,),F,(,x,),在,1,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,11.,试证至少存在一点,使,法,2,令,则,f,(,x,),在,1,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,12.,当 时,试证,证,:,设,当 时,在,上,满足拉氏中值定理条件,因此有,解出,则,时,又因,及,在,单调递增,于是,说明,:,中值定理只告诉位于区间内的中值存在,一般,不能确定其值,此例也只给出一个最好的上下界,.,构造的辅助函数方法举例,.,迫切问题：,上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？,作业：将上面例子中所构造的辅助函数,自己全部练习构造一遍！,思考与练习,1.,填空题,1),函数,在区间,1,2,上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2),设,有,个根,它们分别在区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上,.,方程,2.,设,且在,内,可导,证明至少存,在一点,使,提示,:,由,结论可知,只需证,即,验证,在,上,满足罗尔定理条件,.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,