单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.-吴扬扬制-,*,主要内容：,二元代数运算的特殊元素,单位元,零元,逆元：,幂等元,可约元,代数系统的基本概念,代数系统间的关系,同类型,1,逆元：,定义：设*是,A,上,的二元运算，,e,是关于*的单位元，,aA,若,a,l,A,使得,a,l,*a=e,则称,a,l,为,a,关于*的左逆,元,.,若,a,r,A,使得,a*,a,r,=e,则称,a,r,为,a,关于*的右逆,元,.,若,a,A,使得,a,*a=a*a,=e,则称,a,为,a,关于*的逆,元,.,例,1,中：,7.1,代数运算与代数系统,3.,与二元运算相关的特殊元,(4),关于,+:,aR,的左逆,元、,右逆,元和,逆,元均为,-a.,关于,:,aRa0,a,的左逆,元、,右逆,元和,逆,元均为,1/a.,例,2,中,:,关于,:,(A),中，的左逆,元、,右逆,元和,逆,元均为,.,关于,:,(A),中，,U,左逆,元、,右逆,元和,逆,元均为,U.,例,3,中,:,关于,o,:,*,中，空串的左逆,元、,右逆,元和,逆,元均为,.,例,4,中,:,关于,*,:A,中，浅色的左逆,元、,右逆,元和,逆,元均为浅色,.,2,定理,7.1.6,设*是,A,上,的可结合的二元运算，,e,是关于*的,单位元,a,l,a,r,分别,为,a,关于*的左右逆,元，,则,a,l,=,a,r,且它是,a,关于*的唯一逆,元。,(P145,证明,),幂等元：,定义：设*是,A,上,二元运算，,aA,，若,a*a=a,则称,a,是关于*的幂等元。,7.1,代数运算与代数系统,3.,与二元运算相关的特殊元,(5),3,7.1,代数运算与代数系统,3.,与二元运算相关的特殊元,(6),可约元：,定义：设*是,A,上,二元运算，,aA,，,x,yA,a*x=a*yx=y,则称,a,关于*左可约；,x,yA,x*a=y*ax=y,则称,a,关于*右可约；,若,a,关于*既左可约又右可约，则称,a,关于*可约；,若,aA,都是可约的，则称*满足消去律。,分析,例,1,：,R,上的加法,+,、乘法,运算,关于,+:,aR,均为左可约，右可约，也是可约的；,关于,:,aRa0,均为左可约，右可约，也是可约的；,+,，,满足消去律。,4,例,2,中：关于,：是可约的；关于：,U,可约。,例,3,中：关于,o:,*,均可约。,例,4,中：关于*,:,浅色可约。,定理,7.1.7,设*为,A,上的可结合的二元运算，,aA,，,若,a,关于*可逆，则,a,关于*可约。,*此定理的逆不成立。,例,6,：,N,中的乘法运算,.,关于乘法运算，,N,中每个非零元素均可约，但不可逆。,7.1,代数运算与代数系统,3.,与二元运算相关的特殊元,(7),5,定理,7.1.7:,设*为,A,上的可结合的二元运算，,aA,，若,a,关于*可逆，则,a,关于*可约。,证明：,x,y,A,，,如果,a*x=a*y,a,关于*可逆,=e*x,由,a*x=a*y,，,又有,a,-1,*(a*x)=a,-1,*(a*y),=(a,-1,*a)*y,=e*y,=y,=x,x=y,故,a,关于*左可约。,有,a,-1,使,a,-1,*a=a*a,-1,=e;,a,-1,*(a*x)=(a,-1,*a)*x,同理可证,a,关于*右可约。,分析,例,4,的运算表，,识别运算的性质及特殊元,封闭性,交换性,单位元,零元,幂等元,x,与,y,互逆,iff,运算,表中的每个元素均属于,A;,iff,运算,表关于主对角线对称；,iff,该元素对应行与表头行相同,对应列与表头列相同,;,iff,零元素对应的行和列全部元素都等于零元；,iff,主对角线上元素与该行（列）的表头元素相同。,iff,x,行,y,列的元素以及,y,行,x,列的元素都是幺元。,6,设,S,为非空集合，*,1,*,2,*,n,为,S,上的代数运算，,称,为一个代数系统,/,代数结构，,S,为该代数系统的定义域。,有限代数系统：若,S,是有限集，其中,|S|,称为该系统的阶。,例,7,：,其中,:,7.1,代数运算与代数系统,4.,代数系统,时钟代数,称,1,为生成元。,子代数。,7,作业：,pp.,146,7,(1),主要内容：,二元代数运算的特殊元素,逆元：,幂等元,可约元,代数系统、有限代数系统、子代数,8,代数运算例题,例,1,：,R,上的加法,+,、乘法,运算是,R,上的二元运算。,例,2,：幂集,(U),上,补是,(U),上的一元运算，交、并是二元运算。,例,3,：字符串的连接运算是字符串集合上的二元运算。,字母集合，,*,由,中的字母构成的字符串集合，,o,字符串的连接运算,o:(,*,),2,*,例,4,：设,A=,深色，浅色,*,深色 浅色,深色,浅色,深色,深色,深色,浅色,*：,A,2,A,*,是,A,上的二元运算。,逆元,幂等元,可约,运算表,例,5,：,N,上定义*：,a,bN,a*b=b,9,