单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二十章 曲线积分,1 第一型曲线积分,2 第二型曲线积分,第二十章 曲线积分1 第一型曲线积分2 第二型曲线积分,1,2,第二型曲线积分,一、问题的提出,二、对坐标的曲线积分的概念,三、对坐标的曲线积分的计算,2 第二型曲线积分一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概,2,一、问题的提出,实例:,变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,一、问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割,3,求和,取极限,近似值,精确值,求和取极限近似值精确值,4,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,二、对坐标的曲线积分的概念1.定义,5,类似地定义,类似地定义,6,2.存在条件：,3.组合形式,2.存在条件：3.组合形式,7,4.推广,4.推广,8,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,9,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,三、对坐标的曲线积分的计算定理,10,特殊情形,特殊情形,11,江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件,12,(4)两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上,13,可用向量表示,有向曲线元；,可用向量表示有向曲线元；,14,例1,解,例1解,15,江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件,16,例2,解,例2解,17,问题,：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同,18,例3,解,例3解,19,江苏大数学分析-20-2第二型曲线积分课件,20,问题,：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相,21,例4,计算第二型曲线积分,解,=,=,例4 计算第二型曲线积分 解=,22,解）,=,解）=,23,=,=,）,=,=,注,：这里不同路径积分值不同,=）=注：这里不同路径积分值不同,24,例6,计算曲线积分,例6 计算曲线积分,25,则,则,26,或,或,27,注1,这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.它们的区别在于,注1 这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍.,28,同理,故,同理 故,29,方法1,利用球面的参数方程,方法1 利用球面的参数方程,30,注2,这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0.值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.,注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积,31,上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的.,上面等式中，两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产,32,方法2,利用柱面的参数方程,代入球面方程,取方法2中的参数方程进行计算略.,方法2 利用柱面的参数方程 代入球面方程 取方法2中的参数,33,四、小结,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,四、小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、,34,思考题,思考题,35,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.,36,