,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,数字测图原理,The Principle of Digital Mapping,测绘科学与工程学院,数字测图原理The Principle of Digi,1,第三章测量误差基本知识,3.1 观测误差的分类,3.2 衡量精度的标准,3.3 算术平均值及观测值的中误差,3.4 误差传播定律,3.5 加权平均值及其精度评定,3.6 间接平差原理,第三章测量误差基本知识3.1 观测误差的分类,2,3.1 观测误差的分类,第3章测量误差,2、误差产生的原因：,（1）,人为因素,：,观测者的感觉器官的辨别能力及技术熟练程度。,（2）,仪器原因,：,仪器的精度和分辨率，自身结构不完善等。,（3）,外界环境影响,：气温、气压、风力、日光、大气折射、烟雾等。,一、测量误差产生的原因,1、误差,测量中,真值,与,观测值,之差，称为,误差（真误差）,。,当真值不易测量时，某一量的准确值与其观测值之差也称为误差。,3.1 观测误差的分类第3章测量误差2、误差产生的原,3,3.1 观测误差的分类,一、测量误差产生的原因,3、观测条件：,人、仪器和环境三方面综合起来称为观测条件。,等精度观测,：,观测条件相同的,同类观测,称为“等精度观测”，,不等精度观测,：,观测条件不同的,同类观测,则称为“不等精度观测”。,第3章测量误差,3.1 观测误差的分类一、测量误差产生的原因 第3,4,3.1 观测误差的分类,第3章测量误差,1、系统误差,在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。,二、测量误差的分类与处理原则,测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，分为：,2、偶然误差,在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。,3.1 观测误差的分类第3章测量误差1、系统误差,5,3.1 观测误差的分类,1、系统误差,2、偶然误差,3、粗差,第3章测量误差,由于观测者的粗心或各种干扰造成的大于限差的误差称为“粗差”。,4、误差处理原则,对系统误差，按其产生原因和规律，加以改正、抵消或削弱。,为了防止错误的发生，提高观测成果的精度，要进行多于必要的观测，即“多余观测”。,偶然误差不可避免，由此易出现,往返差、闭合差、不符值,，利用差值大小可评定测量精度。,观测者认真负责、细心地作业，粗差是可以避免的。,一旦出现含有粗差的观测值，应当舍弃，重新观测。,3.1 观测误差的分类1、系统误差第3章测量误差,6,3.1 观测误差的分类,第3章测量误差,三、偶然误,差的特性,设相同观测条件下，对未知量观测了,n,次，观测值为,L,1,L,2,L,n,未知量的真值为,X,，则观测值的,真误差,为：,i,=X L,（i=1,2,3,n）,3.1 观测误差的分类第3章测量误差三、偶然误差的特,7,3.1 观测误差的分类,三、偶然误差的特性,1、频率直方图,横坐标表示误差的大小，纵坐标表示误差出现于各个区间的频率除以区间间隔值，每一误差区间上的长方形面积，就代表误差出现在该区间的频率,。,第3章测量误差,3.1 观测误差的分类三、偶然误差的特性 第3章测量,8,3.1 观测误差的分类,第3章测量误差,2、偶然误差特性,1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；,2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率高；,3）绝对值相等的正误差与负误差，其出现的频率相等；,4）当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。,3.1 观测误差的分类第3章测量误差2、偶然误差特性,9,3.1 观测误差的分类,3、正态分布曲线,观测次数 n,的情况下，无限缩小误差区间间隔d，则频率直方图中各长方条顶边所形成的折线，将变成一条中间高两边低、并向横轴逐渐逼近的光滑的曲线，称为,误差分布曲线或正态分布曲线,，表示了偶然误差出现的概率。,第3章测量误差,3.1 观测误差的分类3、正态分布曲线第3章测量误差,10,3.1 观测误差的分类,第3章测量误差,参数是观测误差的标准差。标准差的平方,2,为方差，方差为偶然误差平方的理论平均值：,标准差是误差分布曲线拐点的横坐标值：,4、正态分布的密度函数,正态分布（或高斯分布）曲线的数学方程式：,3.1 观测误差的分类第3章测量误差参数是观测误差,11,3.2 衡量精度的标准,第3章测量误差,相同观测条件下，对同一观测值进行的一组观测对应一种误差分布，故组中所有观测值具有相同的精度。,精度,：反映一组观测值误差分布的密集或离散程度的数值。,标准差的大小取决于一定条件下偶然误差出现的绝对值大小。,愈小，曲线愈陡峭，离散度小，精度较高。,愈大，曲线愈平缓，离散度大，精度较低。,1、标准差：,3.2 衡量精度的标准第3章测量误差 相同观测条,12,3.2 衡量精度的标准,第3章测量误差,2、中误差,测量工作中，观测个数 n 总是有限的。当 n 为有限值时，只能得到的估值，常用,m,表示，即中误差m为标准差的估值。,按有限的几次观测的偶然误差求得的标准差称为,中误差,。,3.2 衡量精度的标准第3章测量误差2、中误差按有限的几次,13,3.2 衡量精度的标准,例题：一个中误差对应一个偶然误差的正态分布。,m较小时，曲线顶峰较高，两侧迅速逼近横轴，表明小误差出现的机率较大，误差分布较集中；m较大时，曲线顶峰较低，形状平缓，表明误差分布较离散。,第3章测量误差,3.2 衡量精度的标准例题：一个中误差对应一个偶然误差的正态,14,3.2 衡量精度的标准,第3章测量误差,3、相对误差,中误差绝对值与观测值之比。,k,1,k,2,，可见L,1,的量距精度高于L,2,。,例：丈量两段距离：L,1,=1000m；L,2,=80m，中误差分别为：m,1,=20mm；m,2,=20mm。如何衡量其精度？,？,3.2 衡量精度的标准第3章测量误差3、相对误差？,15,3.2 衡量精度的标准,4、极限误差,由正态分布曲线：,将其在k倍中误差的区间内积分，可得此区间内误差出现的为,分别以k=1，k=2，k=3代入上式，得误差落不大于1倍中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率分别为：,P（|,m）=0.683=68.3%,P（|,2m）=0.954=95.4%,P（|,3m）=0.997=99.7%,第3章测量误差,3.2 衡量精度的标准4、极限误差 第3章测量误差,16,3.2 衡量精度的标准,3、极限误差,大于2倍中误差的偶然误差出现的概率约为5%，是小概率事件。一般测量次数有限，大于 2 倍中误差的误差应该很少遇到。,因此，以 2 倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”，简称“限差”，即,允,=,m,现行测量规范中通常取2倍中误差作为限差。,第3章测量误差,3.2 衡量精度的标准3、极限误差 第3章测量误差,17,小 结,1、测量误差的分类与处理原则,2、衡量精度的标准,第3章测量误差,小 结1、测量误差的分类与处理原则第3章测量误差,18,思考题,1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特性？能否将其消除?,2.观测结果中的系统误差有什么特点，它给观测结果带来怎样的影响?如何减弱或消除？,3.相对误差与绝对误差有何区别?,第3章测量误差,思考题1.为什么在观测结果中一定存在偶然误差？偶然误差有何特,19,3.3 算术平均值及观测值的中误差,一、算术平均值,相同观测条件下，对某未知量进行n 次观测，观测值分别为l,1,，l,2,，l,n,，将这些观测值取,算术平均值,，作为该量的,最可靠值,，称为“,最或是值,”,下面证明对多次观测值取平均值的合理性与可靠性：,第3章测量误差,3.3 算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值 第3章,20,第3章 测量误差,3.3 算术平均值及观测值的中误差,设未知量的真值为X，则观测值的真误差为：,将此列等式相加，得：,根据偶然误差第（4）特性，当观测次数无限增多时：,故此时有：,即当观测次数无限增大时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值。计算时，不论观测次数多少，均以算术平均值 x 作为未知量的最或然值。,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中,21,第3章 测量误差,3.3 算术平均值及观测值的中误差,二、观测值的改正值,算术平均值与观测值之差称为观测值的,改正值,。,将此列等式相加并除以n，得,将算术平均值代入，得,即一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒等于零。此特性可用于检核数据计算。,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差二、,22,第3章 测量误差,3.3 算术平均值及观测值的中误差,三、按观测值的改正值计算中误差,（,白塞尔公式,）,衡量观测精度的理想量是标准差，但实际工作中没有无限次观测，故只能用中误差来代替标准差。,多数情况下，观测值的真值不可知，故真误差不可知，无法求中误差。,实际计算为：对有限的n次观测值求算术平均值，由其计算改正值，用算术平均值代替真值，用改正值代替真误差，按观测值的改正值计算观测值中误差：,白塞尔公式,推导过程如下：,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差三、,23,第3章测量误差,第3章测量误差,24,第3章 测量误差,3.3 算术平均值及观测值的中误差,因此可得：,按观测值的改正值计算中误差 白塞尔公式,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差因此,25,第3章 测量误差,3.3 算术平均值及观测值的中误差,总结,：等精度观测平差步骤：,1.计算算术平均值,2.计算观测值的改正值,检核,3.计算观测值的中误差,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.3 算术平均值及观测值的中误差总结,26,第3章 测量误差,3.4 误差传播定律,因观测值含有误差，使得其函数受其影响也含有误差，称为,误差传播,。,误差传播定律,：反映观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律。,一、观测值的函数,1、和差函数,2、倍函数,3、线性函数,4、般函数,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.4 误差传播定律因观测值含有误差，使得,27,第3章 测量误差,3.4 误差传播定律,1、倍数函数,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.4 误差传播定律1、倍数函数第3章测,28,第3章 测量误差,3.4 误差传播定律,2、和差函数,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.4 误差传播定律2、和差函数第3章测,29,第3章 测量误差,3.4 误差传播定律,2、和差函数,3、线性函数,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.4 误差传播定律2、和差函数3、线性函,30,第3章 测量误差,3.4 误差传播定律,对n次等精度观测，算术平均值及线性函数的中误差分别为：,因为是等精度观测，则m,1,=m,2,=m,n,=m，m为观测值的中误差。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中误差的公式：,由此可见，,算术平均值的中误差是观测值中误差的,。,因此，对于某一量进行多次等精度观测而取其算术平均值，是提高观测成果精度的有效方法。,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.4 误差传播定律对n次等,31,第3章 测量误差,3.4 误差传播定律,4、一般函数,式中 x,i,是中误差为 m,i,的独立观测值，（i=1，2，n），求 Z 的中误差。,对上式求全微分，并以真误差符号“”替代微分符号“d”，得,对上式以中误差平方替代真误差，并将偏导线值平方并开方，得,此即误差传播定律的一般形式。其它线性函数、和差函数、倍函数等，都是上式的特例。,第3章测量误差,第3章 测量误差 3.4 误差传播定律4、一般函,32,误差传播定律,应用举例,算术平均值,已知：m,1,=m,2,=.=m,n,=m，求：,m,x,第3章测量误差,误差传播定