单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,第二十七章,27.2.7,相似三角形的性质,人教版数学九年级下册,1.,理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长和面积性质,.,2.,能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题,.,学习目标,(1),什么叫相似三角形？,对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做,相似三角形,.,(2),如何判定两个三角形相似？,定义；,预备定理,(,平行,),；,三边对应成比例；,两个角对应相等；,两边对应成比例，且夹角相等；,直角三角形（,HL,),复习导入,1,知识点,相似三角形对应线段的比,三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长,度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，,以及周长、面积等如果两个三角形相似，那么它们,的这些几何量之间有什么关系呢？,问,题,合作探究,探究：,如图，,ABC,A,B,C,，相似比为,k,，它们对应高、,对应中线、对应角平分线的比各是多少？,如图，分别作,ABC,和,A,B,C,的对应高,AD,和,A,D, ., ,ABC,A,B,C,，, ,B,= ,B, .,又,ABD,和,A,B,D,都是直角三角形，,ABD, ,A,B,D,.,类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、,对应角平分线的比也等于,k,.,这样，我们得到：,相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应,角平分线的比都等于相似比,.,一般地，我们有：,相似三角形对应线段的比等于相似比,.,新知小结,如图，分别作ABC和 ABC的对应高AD和A D .,解：设ABCA1B1C1，且ABC中的最短边,AEFACD.,ABC的边BC上的高为6，面积为,解： 在ABC和DEF中，,A32 B35,如图，分别作ABC和 ABC的对应高AD和A D .,两边对应成比例，且夹角相等；,能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题.,能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题.,解：设ABCA1B1C1，且ABC中的最短边, ABCABC， B= B .,ABC的边BC上的高为6，面积为,矩形EFGH的周长,等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”,对应中线、对应角平分线的比各是多少？,例,1,如图，在,ABC,中，,AD,是,BC,边上的高，矩形,EFGH,内接于,ABC,，且长边,FG,在,BC,上，矩,形相邻两边的比为,12,，若,BC,30 cm,，,AD,10 cm,，求矩形,EFGH,的周长,合作探究,导引：,由四边形,EFGH,为矩形，得,EH,BC,，所以,AEH,与,ABC,相似，根据相似三角形对应高的比等于相,似比可求出,HG,的长，进而求出,EH,的长，即可求得,矩形,EFGH,的周长,解：,设,HG,x,cm,，则,EH,2,x,cm.,易得,AP,EH,.,AD,10 cm,，,AP,(10,x,) cm.,四边形,EFGH,为矩形，,EH,BC,，,AEH, ,ABC,解得,x,=6,HG,6 cm,，,EH,12 cm.,矩形,EFGH,的周长为,36 cm.,相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中,“对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中,线，对应角的平分线,新知小结,如图，,ABC,与,A,B,C,相似，,AD,，,BE,是,ABC,的高，,A,D,，,B,E,是,A,B,C,的高，求证,ABC,ABC,，,AD,，,AD,分别是,ABC,，,ABC,的高，,又,BE,，,BE,分别是,ABC,，,ABC,的高，,证明：,巩固新知,2,已知,ABC,A,B,C,，,BD,和,B,D,分别是两个,三角形对应角的平分线，且,AC,A,C,23,，,若,BD,4 cm,，则,B,D,的长是,(,),A,3 cm B,4 cm C,6 cm D,8 cm,C,3 【,中考,重庆,A,卷,】,若,ABC,DEF,，相似比,为,32,，则对应高的比为,(,),A,32 B,35,C,94 D,49,A,2,知识点,相似三角形周长和面积的比,某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为,100,平方米，周长为,80,米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削,去了一个角，变成了一个梯形，,原绿化地一边,AB,的长由原来的,30,米缩短成,18,米,(,如图,),现在的,问题是：,它的周长是多少？,问,题,合作探究,解答：,将上面生活中的问题转化为数学问题是：,如图，已知,DE,BC,，,AB,=30 m,，,BD,=18 m,，,ABC,的周长为,80 m,，求,ADE,的周长,.,DE,BC,，,ADE,=,B,，,AED,=,C,，,ADE,ABC,，,由比例的性质可得，,而,ADE,的周长,=,AD,AE,DE,ABC,的周长,=,AB,AC,BC,，,ADE,的周长,=32 m.,从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周,长比等于相似比,.,新知小结,面积为 ，求DEF的边EF 上的高和面积,7 相似三角形的性质,问题是：它的周长是多少？,例3如图，在ABC和DEF 中，AB = 2DE，AC =,A12 B13,相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如,例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和,能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题.,利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形,解：设ABCA1B1C1，且ABC中的最短边,AC9 cm，A1B1C1中的最短边A1C16 cm.,如图，分别作ABC和 ABC的对应高AD和A D .,果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.,三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长,解：设ABCA1B1C1，且ABC中的最短边,ABC的边BC上的高为6，面积为,两边对应成比例，且夹角相等；,ABC的边BC上的高为6，面积为,解： 在ABC和DEF中，,角形的面积也扩大为原来的9倍.,例,2,已知两个相似三角形的最短边分别为,9 cm,和,6 cm.,若它们的周长之和为,60 cm,，则这两个,三角形的周长分别是多少？,导引：,两个相似三角形的最短边就是一组对应边，,由此可确定相似比，进而根据已知条件，解,以一个三角形周长为未知数的方程即可,合作探究,解：,设,ABC,A,1,B,1,C,1,，且,ABC,中的最短边,AC,9 cm,，,A,1,B,1,C,1,中的最短边,A,1,C,1,6 cm.,则,ABC,和,A,1,B,1,C,1,的相似比为,设,ABC,的周长为,x,cm,，,则,A,1,B,1,C,1,的周长为,(60,x,)cm.,ABC,的周长为,36 cm,，,A,1,B,1,C,1,的周长为,24 cm.,解得,x,36,，,60,x,24.,相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如,果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比,.,新知小结,1,(,中考,重庆,),ABC,与,DEF,的相似比为,14,，则,ABC,与,DEF,的周长比为,(,),A,12 B,13,C,14 D,116,C,巩固新知,如图，在,RtABC,中，,ACB,90,，,A,30,，,CDAB,于点,D,，则,BCD,与,ABC,的,周长之比为,(,),A,1,：,2,B,1,：,3,C,1,：,4,D,1,：,5,A,相似三角形面积的比与相似比有什么关系？,如图，由前面的结论，我们有,问,题,例,3,如图，在,ABC,和,DEF,中，,AB,= 2,DE,，,AC,=,2,DF,，,A,=,D,若,ABC,的边,BC,上的高为,6,，,面积为 ，求,DEF,的边,EF,上的高和面积,解：,在,ABC,和,DEF,中，,AB,= 2,DE,，,AC,= 2,DF,又,D,=,A,，, ,DEF,ABC,，,DEF,与,ABC,的相似比为,ABC,的边,BC,上的高为,6,，面积为,DEF,的边,EF,上的高为,面积为,利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形,相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比,等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”,解题警示：不要误认为面积的比等于相似比,新知小结,1,判断题（正确的画“,”，错误的画“,”）,.,(1),一个三角形的各边长扩大为原来的,5,倍，这个三,角形的角平分线也扩大为原来的,5,倍；（ ）,(2),一个三角形的各边长扩大为原来的,9,倍，这个三,角形的面积也扩大为原来的,9,倍,.,（）,巩固新知,【,中考,重庆,B,卷,】,已知,ABC,DEF,，且相似比为,12,，则,ABC,与,DEF,的面积比为,(,),A,14 B,41,C,12 D,21,2,A,【,中考,南宁,】,有,3,个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为,S,1,，,S,2,，则,S,1,：,S,2,等于,(,),A,1,：,B,1,：,2,C,2,：,3,D,4,：,9,3,D,【,中考,绥化,】如图，在,ABCD,中，,AC,，,BD,相交于点,O,，点,E,是,OA,的中点，连接,BE,并延长交,AD,于点,F,，已知,S,AEF,4,，则下列结论：,S,BCE,36,；,S,ABE,12,；,AEF,ACD,.,其中一定正确的是,(,),A,B,C,D,4,D,【,中考,菏泽,】,如图，,ABC,与,ABC,都是等腰三角形，且,AB,AC,5,，,AB,AC,3,，若,B,B,90,，则,ABC,与,ABC,的面积比为,(,),A,25,：,9,B,5,：,3,C.,D,5,A,1,、相似三角形,对应边成,_,，对应角,_.,2,、相似三角形,对应边上的高、对应边上的中线、,对应角平分线的比都等于,_.,3,、相似三角形,周长的比等于,_,，,相似三角形面积的比等于,_.,相似比的平方,相似三角形的性质：,比例,相等,相似比,相似比,1,知识小结,归纳新知,如图，在,ABC,中，,DE,与,BC,平行，,S,ADE,S,梯形,BCED,1,4,，求,AD,DB,.,2,易错小结,解：,因为,S,ADE,S,梯形,BCED,14,，所以,S,ADE,S,ABC,15.,因为,DE,BC,，所以,ADE,ABC,.,所以,所以,易错点：,忽略相似三角形性质的适用条件,.,跳出误区：,此题易错计算为,AD,DB,12,，要求,AD,DB,，关键是求,S,ADE,S,ABC,，根据三角形的面积比得出线段的比，从而得出,AD,与,DB,的比,相似比,相似比,课后练习,C,A,B,相似比,相似比的平方,B,A,B,C,B,【,答案,】,A,【,答案,】,B,再见,