,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复习,一、等价,A,中每个向量都可由,B,线性表示,A,可由,B,线性表示,A,与,B,可以互相线性表示,AB,A,与,B,等价,等价关系,任一向量“突出”于其余,n,1,个向量生成的“空间”之外,B,对应方程组的解都是,A,的解,其任一向量都不能由其余的向量线性表出,向量组,A,与,B,等价,对应的方程组同解,二、线性相关、线性无关,三、线性组合与线性相关的关系,三个简单性质,四、线性相关性的判定,整体与部分,接长维数,维数与个数,注1,n,个,n,维向量线性无关,m,个,n,维向量线性无关,注2,注3,若,K,为满秩阵，则,方程组,向量组,矩阵,(,I),线性运算,？,初等变换、初等方阵,秩 s,R,(,K,),s,r,你能举个,反例吗？,推论1,等价向量组的秩相等。,例6,n,必须注意：,有相同秩的两个向量组不一定等价。,例7,证明任意两个线性无关的等价向量组所含向量,个数相等。,仅等价结论不成立,设有两个向量组,证,例8,这是个非常有用的结论,推论2,证,定理5的矩阵,表达形式,关于秩的非常重要的不等式！,用向量组解决矩阵问题的一个很典型的例子,推论3,若向量组,A,的部分组,B,满足：,(1)向量组,B,线性无关;,(2)向量组,A,能由向量组,B,线性表示;,则向量组,B,是向量组,A,的一个最大无关组。,证,设向量组,B,含有,r,个向量,则,R,(,B,),=r.,由条件(2)及定理 5 知,R,(,A,),r,，,向量组,A,中的任意,r,+1,个向量线性相关,B,是,A,的最大无关组。,最大无关组定义的等价形式,(2),(,ii,),(,ii,),(2),(,ii,),小结,1.,最大无关组,2.,秩,3.,求秩和最大无关组,最大性,无关性,不唯一，但所含向量个数唯一,Th5,可被线性表出的,秩小,向量组的秩=矩阵的秩=行秩=列秩,两等价的线性无关,向量组含向量个数相同,任,n+,1,个线性相关,再添一个就线性相关,A,能由,A,线性表示,简单性质,等价组等秩,与最大无关组等价的,线性无关组也是最大无关组,例9,(,P.109,例6,),设向量组,B,能由向量组,A,线性表示，,证明向量组,A,与,B,等价.,证一,（只需证向量组,A,能由向量组,B,线性表示）,设,R,(,A,)(,B,),r,向量组,A,0,能由,B,0,线性表示,向量组,A,能由,B,线性表示,向量组,A,与,B,等价,且,R,(,A,),R,(,B,),证二,设同上，并考察向量组,(,A,B,)，,向量组,B,能由向量组,A,线性表示，,向量组,(,A,B,),也能由,向量组,A,线性表示，,又向量组,A,是向量组,(,A,B,),的部分组，,向量组,A,也能由,向量组,(,A,B,),线性表示，,向量组,A,与,向量组(,A,B,),等价，,R,(A,B,),=r,又向量组,R,(,B,),=r,B,的最大无关组,B,1,是向量组(,A,B,),的极大无关组，,同理,A,的最大无关组,A,1,也是向量组(,A,B,),的极大无关组，,向量组,A,1,与,B,1,等价,向量组,A,与向量组,B,等价。,证极大无关组等价,例10,(,P.110,例7,),证一,证二,列变换,证三,