单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,2021/3/8,#,函数的零点与方程的解,函数的零点与方程的解,1,在,“,函数的应用（一）,”,中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法本节先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法,整体感知,在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函,新知探究,问题,1,我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？,从二次函数的观点来看，一元二次方程,的实数根就是相应二次函数,的零点，也就是二次函数,的图象与,x,轴的公共点的横坐标,新知探究问题1我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方,新知探究,问题,2,类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，像,这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？,类比二次函数的零点，也可以考虑函数,的零点，通过判断函数,的图象与,x,轴是否有公共点，来判断方程,是否有实数解,新知探究问题2类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零,新知探究,问题,3,通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？,可以将这种方法推广到研究一般方程的解为此，与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义,定义：对于一般函数,，我们把使,的实数,x,叫做函数,的零点（,zero point,）,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,新知探究问题3通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方,新知探究,问题,3,通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？,这样，函数,的零点就是方程,的实数解，也就是函数,的图象与,x,轴的公共点的横坐标,新知探究问题3通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方,追问,1,在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？,新知探究,根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系：,方程,有实数解,函数,有零点,函数,的图象与,x,轴有公共点,即对于函数,的零点，其代数意义就是,的实数解，其几何意义就是函数,的图象与,x,轴的公共点,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问1在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？新知探究根据,追问,2,函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们求解方程的解，尤其是为那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？,新知探究,求方程,的实数解，就是确定函数,的零点所以，对于不能用公式求解的方程,的实数解问题，我们可以把它与相应的函数,联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解,追问2函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能,追问,3,这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？,新知探究,这其中蕴含着数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问3这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思,新知探究,问题,4,要判断方程是否有实数解，就要判断函数是否有零点，那么如何判断函数在其定义域的某一区间上是否存在零点呢？为了研究这个问题，我们先从熟悉的二次函数入手，你认为我们应该从哪些方面研究二次函数的零点？,可以考察一个存在零点的二次函数，观察零点附近函数图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，然后抽象概括出其中的共性,新知探究问题4要判断方程是否有实数解，就要判断函数是否有零,追问,1,对于二次函数,，观察它的图象（右图），发现它在区间,2,，,4,上有零点这时，函数图象与,x,轴有什么关系？函数,的取值有什么规律？你能用,在区间,2,，,4,上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？,新知探究,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问1对于二次函数,新知探究,在区间,2,，,4,上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且,“,穿过,”,x,轴，零点左侧的图象在,x,轴下方，零点右侧的图象在,x,轴上方相应的函数,的取值在零点左侧小于,0,，在零点右侧大于,0,因此函数在端点,x,2,和,x,4,的取值异号，可用,且,来刻画图象关系和函数值规律,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,新知探究在区间2，4上的零点附近，函数图象是连续不断的，,追问,2,函数,在区间,2,，,0,上也有零点，这时，函数图象与,x,轴有什么关系？函数,f,(,x,),的取值有什么规律？你能用,在区间,2,，,0,上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？,新知探究,与在区间,2,，,4,上的情况类似，在区间,2,，,0,上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且,“,穿过,”,x,轴，零点左侧的图象在,x,轴上方，零点右侧的图象在,x,轴下方相应的函数,f,(,x,),的取值在零点左侧大于,0,，在零点右侧小于,0,因此函数在端点,x,2,和,x,0,的取值异号，可用,f,(,2)0,且,f,(,x,)0,来刻画图象关系和函数值规律,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问2函数,追问,3,区间,2,，,4,和区间,2,，,0,上都有零点，通过上面的分析，说说它们有什么共性？,新知探究,当函数图象连续不断时，在包含零点的某一段区间内，函数的图象,“,穿过,”,x,轴，零点两侧的函数值符号相反，此时这个区间两个端点的函数值的乘积小于零即对于函数,，有,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问3区间2，4和区间2，0上都有零点，通过上面,新知探究,问题,5,再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间内函数图象与,x,轴的关系，以及,f,(,x,),的取值情况阅读教科书,143,页,“,函数零点存在定理,”,相关内容，你能总结出函数零点存在定理的判定条件吗？,函数零点存在定理：,如果函数,在区间,a,，,b,上的图象是一条连续不断的曲线，且有,，那么，函数,在区间,(,a,，,b,),内至少有一个零点，即存在,c,(,a,，,b,),，使得 ，这个,c,也就是方程,的解,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,新知探究问题5再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间,新知探究,问题,5,再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间内函数图象与,x,轴的关系，以及,f,(,x,),的取值情况阅读教科书,143,页,“,函数零点存在定理,”,相关内容，你能总结出函数零点存在定理的判定条件吗？,定理有两个判定条件：,（,1,）在给定区间,a,，,b,上的图象连续不断；,（,2,）,二者缺一不可,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,新知探究问题5再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间,追问,1,你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，为什么缺一不可吗？,新知探究,（,1,）,，虽然函数在区间,0,，,1,上的图象连续不断，但是由于,，,，,，所以不能够得到,在区间,0,，,1,上有零点而函数在区间,0,，,1,上也确实没零点,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问1你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，,追问,1,你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，为什么缺一不可吗？,新知探究,（,2,）,，虽然,，,，,，但是由于函数在区间,1,，,1,上的图象不是连续不断的，所以不能够得到,在区间,1,，,1,上有零点而函数在区间,1,，,1,上也确实没零点,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,北师大版高一数学必修第一册,5.,函数的零点与方程的解,PPT,全文课件,【,完美课件,】,追问1你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，,追问,2,从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？,新知探究,函数零点存在定理的条件是：,p,：函数,在区间,a,，,b,上的图象连续不断，且,结论是：,q,：函数,在区间,(,a,，,b,),内至少有一个零点,因此其逆命题是：如果函数,在区间,(,a,，,b,),内至少有一个零点，那么函数,在区间,a,，,b,上的图象连续不断，且,追问2从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条,追问,2,从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？,新知探究,考虑函数,，该函数在区间,(,1,，,2),内明显有零点,x,1,，但是因为在,x,0,处函数无定义，所以在区间,1,，,2,上的图象不是连续不断的,考虑函数,，该函数在区间,(,2,，,4),内明显有零点，并且有两个零点,x,1,和,x,3,，但是因为,，,，所以,追问2从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条,追问,2,从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？,新知探究,所以其逆命题为假，即由函数零点存在定理的结论,q,不能推出其条件,p,所以函数零点存在定理的判定条件是充分但不必要条件,追问2从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条,追问,3,函数零点存在定理的结论是：函数,在区间,(,a,，,b,),内至少有一个零点这是否说明，如果满足判定条件，那么函数,在区间,(,a,，,b,),内就只有一个零点？请说明理由，或举例说明,新知探究,函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定只存在一个零点，更不能确定零点的具体个数例如三次函数,在区间,0,，,4,上的图象连续不断，且,，但是该函数在区间,(0,，,4),内有三个零点,x,1,，,x,2,和,x,3,零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究,追问3函数零点存在定理的结论是：函数,*,（选学）,再例如三