单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,根底梳理,1.直线与平面垂直,(1)定义:如果直线 与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做点到平面的距离.,(2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.,(3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.,(4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,(5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.,2.平面与平面垂直,(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就称这两个平面互相垂直.,(2)判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.,(3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,典例分析,题型一 线线垂直,【例1】如图,=CD,EA,垂足为,A,EB,垂足为B,求证:CDAB.,分析,要证CDAB,只需证CD平面ABE即可.,证明,=CD,CD,CD.,又EA,CD,EACD,同理EBCD.,EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB.,AB平面EAB,ABCD.,学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.假设两直线共面,那么一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等.假设两直线异面,那么转化为线面垂直进行证明.,举一反三,1.2021淮安模拟如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正方形，DF平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证：GNAC.,解析：,如图，连接DN，,四边形ABCD是正方形，N是AC的中点,DNAC.,DF平面ABCD，AC平面ABCD，,DFAC.,又DNDF=D,AC平面DNF.,GN平面DNF，,GNAC.,题型二 线面垂直,【例2】如图,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求证:,(1)BC平面PAB;,(2)AE平面PBC;,(3)PC平面AEF.,分析,要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可.,证明,(1)PA平面ABCPABC,ABBC BC平面PAB.,PAAB=A,(2)AE平面PAB,由(1)知AEBC,AEPB AE平面PBC.,PBBC=B,(3)PC平面PBC,由(2)知PCAE,PCAF PC平面AEF.,AEAF=A,学后反思 此题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而的线线垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明所需要的转化.,举一反三,2.如图所示,P是ABC所在平面外一点,且PA平面ABC,若O、Q分别是ABC和PBC的垂心，求证:OQ平面PBC.,证明,如图，连接AO并延长交BC于E,连接PE.,PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.,又O是ABC的垂心,BCAE.,PAAE=A,BC平面PAE,BCPE,PE必过Q点，,OQ平面PAE,OQBC.,连接BO并延长交AC于F.,PA平面ABC,BF平面ABC,PABF.又O是ABC的垂心,BFAC,BF平面PAC.,PC平面PAC,BFPC.,连接BQ并延长交PC于M,连接MF.,Q为PBC的垂心,PCBM.BMBF=B,PC平面BFM.OQ平面BFM,OQPC.,PCBC=C,OQ平面PBC.,题型三 面面垂直,【例3】如图所示,在斜三棱柱 -ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面 底面ABC.,(1)若D是BC的中点,求证:AD ;,(2)过侧面 的对角线 的平面交侧棱于M,若AM=,求证:截面 侧面,分析 1要证明AD ,只要证明AD垂直于 所在的平面 即可.显然由ADBC和面面垂直的性质定理即可得证.,2要证明截面 侧面 ，只要证明截面 经过侧面 的一条垂线即可.,证明,(1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC.,底面ABC侧面,AD侧面 ，AD .,(2)延长 与BM的延长线交于点N,连接 .,学后反思 此题中平面ABC平面 的应用是关键,一般地，有两个平面垂直时要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.,3.如图,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.,(1)求证:PA平面ABC;,(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.,举一反三,解析：1如图,在平面ABC内取一点D,作DFAC交AC于F,平面PAC平面ABC,且交线为AC,DF平面PAC,又PA平面PAC,DFPA.,作DGAB于G,同理可证DGPA,又DG、DF都在平面ABC内,PA平面ABC.,(2)如图，连接BE并延长交PC于H,E是PBC的垂心,PCBE.,又AE平面PBC,AEPC，又BEAE=E，,PC面ABE，PCAB.,又PA平面ABC,PAAB,又PAPC=P,AB平面PAC,ABAC,即ABC是直角三角形.,【例4】12分在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA底面ABCD.,(1)当a为何值时,BD平面PAC?试证明你的结论;,(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PMDM;,(3)假设在BC边上至少存在一点M,使PMDM,求a的取值范围.,分析 1此题第(1)问是寻求BD平面PAC的条件,即BD垂直于平面PAC内两相交直线,易知BDPA,问题归结为a为何值时,BDAC,从而知ABCD为正方形.,2假设PMDM,易知DM面PAM，得DMAM,由AB=2，a=4知，M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DMAM.,解,(1)当a=2时,ABCD为正方形,则BDAC,2,又PA底面ABCD,BD平面ABCD,BDPA,又PAAC=A,.3,BD平面PAC.,故当a=2时,BD平面PAC.4,题型四 垂直问题的探究,(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、MN.5,四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,.6,AMD=AMN+DMN=45+45=90,.7,即DMAM.又PA底面ABCD,PADM,DM面PAM，得PMDM,.9,故当a=4时,BC边的中点M使PMDM.,学后反思 无论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直.在处理实际问题的过程中,可以先从题设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的垂直关系,从而架起与未知之间的桥梁.,(3)设M是BC边上符合题设的点M,PA底面ABCD,DMAM11,因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,那么AD2AB,即a4为所求.12,举一反三,4.如图,在正三棱锥ABCD中,BAC=30,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点.,(1)试判断四边形EFGH的形状,并说明判断理由;,(2)设P点是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC平面EFGH?请说明理由.,解析,：(1)四边形EFGH是矩形,下面给出证明:,AD平面EFGH,平面ACD平面EFGH=HG,AD平面ACD,ADHG.,同理EFAD,HGEF,同理有EHFG,四边形EFGH是平行四边形.,又三棱锥A-BCD是正三棱锥,A点在底面BCD上的射影O点必是BCD的中心,如图,ODBC,ADBC,HGEH,即四边形EFGH是矩形.,(2)作CPAD于P,连接BP,如下图.,ADBC,AD平面BCP.,HGAD,HG平面BCP.,又HG平面EFGH,平面BCP平面EFGH,在RtAPC中,CAP=30,AC=a,易错警示,【例】设平面与平面的交线为,直线AB在平面内,且AB,垂足为B,直线CD垂直于平面,且CD平面.,求证:AB平面.,错解,如图1所示,CD平面,且CD平面,而AB,ABCD,AB平面.,错解分析 错解仅将条件复述一遍,就直接从CD平面,得出CDAB,这是没有根据的,犯了论据缺乏的错误.,正解,如图2所示,过CD及平面内任一异于AB的点P作平面,设平面与平面的交线为EF.,CD平面,EFCD.,CD平面,EF平面,EF.,EF、AB均在平面内,且EF、AB均与 垂直，,ABEF,而EF平面,AB平面.,考点演练,10.2021浙江如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC端点除外上一动点.现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB,K为垂足.设AK=t，那么t的取值范围是 .,解析:如图2，过K作KMAF于M点，连接DM，由平面ABD平面ABC易得DMAF，与折前的图1比照，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且DKAF，于是DAKFDA,答案:,11.ABCABC是正三棱柱，底面边长为a,D、E分别为BB、CC上的点，,BD=a,EC=a.(1)求证：平面ADE平面ACCA；(2)求ADE的面积.,解析,：(1)如图，分别取AC,AC的中点M、N，连接MN，,则MNAABB，B、M、N、B共面,BMAC.,又BMAA,BM平面AACC.,设MN交AE于P，,CE=AC,PN=NA=a,又BD=a,PN=BD.PNBD,四边形PNBD是矩形，于是PDBN,又BNBM,PDBM.,BM平面ACCA,PD平面ACCA,PD平面ADE，,平面ADE平面ACCA.,(2)PD平面ACCA,PDAE，,PD=BM=a,AE=a,=AEPD=a,12.(2009潍坊模拟)如图,正三棱柱ABC-中,AB=2,=1,D是BC的中点,点P在平面 内,(1)求证:BC;,(2)求证:平面 ;,(3)求证:平面,证明,(1)如图，取 的中点Q,连接 ,PQ,和 是等腰三角形,PQ,平面 ,.,BC ,BC,(2)连接BQ,在 中,=2,Q为 中点,PQ=1,=PQ.,又 ,PQ ,且 ,PQ在同一平面内.,PQ,四边形 为平行四边形,BQ.,BD ,四边形 为平行四边形,BQ ,又 面 ,平面,(3)在矩形 中,BC=2,=1,D为BC的中点,=90,即,平面ABC平面 ,ADBC,AD平面,平面,AD ,平面,