单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/4/13,#,电磁学,A,2020,高中物理竞赛,电磁学A2020高中物理竞赛,1,3.4.1,基尔霍夫定律,在直流电路中除了电源以外，只有电阻元件。但实际中遇到的电路往往比单纯的电阻,串、并联电路或单回路复杂得多。一个复杂电路是多个电源和多个电阻的复杂联接。我们,把电源和,(,或,),电阻串联而成的电流的单一通路,叫做,支路,在支路中电流强度处处相等。,三,条或更多条支路的联接点,叫做,节点,或,分支点,(,图,3-32a),。几条支路构成的电流的闭合通路,叫做回路,(,图,3-32b),。在复杂电路中，各支路的联接,形成多个节点和多个回路。例如，电桥电路中有六,条支路、四个节点和七个回路，电位差计中有三条,支路、二个节点和三个回路。,处理复杂电路的典型问题，是在给定电源电动,势、内阻和电阻的条件下，计算出每一支路的电流；,有时已知某些支路中的电流，要求出某些电阻或电动,势。这不过是上述已知条件和要求解的未知数之间的若干调换而已。,解决复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组，原则上它可以用来计算任何复杂电,路中每一支路中的电流。但计算较为繁杂。可是实际的电路计算常常并不需要计算每一支,路的电流，而只需计算某一支路的电流，或某部分电路的等效电阻等。在解决这样的问题,中，可运用一些由基尔霍夫定律导出的定理。这些定理抓住了电路的某些特点，物理图象,3.4.1 基尔霍夫定律 在直流电路中除了电,2,3.4.1,基尔霍夫定律,鲜明，从而可以简化计算。,（,1,）,基尔霍夫第一定律,(,节点电流定律,KCL),基尔霍夫第一方程组又称节点电流方程组,它的理论基础是电流的稳恒条件。作一闭合,曲面包围电路的节点，根据稳恒条件式,(3.6),汇流于节点的电流强度为,0,。如果我们规定：,流向节点的电流强度前面写减号，从节点流出的电流强度前面写加号,，则,汇于节点的各支,路电流强度的代数和为,0,。此即,基尔霍夫电流定律,。用关系式表示为：,(3.55),由上式所列的方程称为基尔霍夫电流方程,。例如,对于如图,3-32a,所示的节点,A,可写出方程,显然,对电路中的每一节点都可按同样方法写出一个方程。容易证明,对于共有 个节点,的完整电路所写出的 个方程式中有 个是彼此独立的,余下的一个方程式可由这,个方程式组合得到，这 个独立的方程式组成一个方程组，叫做基尔霍夫第一方程组。,（,2,）,基尔霍夫第二定律,(,回路电压定律,KVL),基尔霍夫第二方程组又叫回路电压方程组。它的基础是稳恒电场的环路定理 。,根据环路定理，沿回路环绕一周回到出发点，电位数值不变。绕行时，沿途电位经历从低,3.4.1 基尔霍夫定律鲜明，从而可以简化计算。,3,3.4.1,基尔霍夫定律,到高和从高到低的过程，统称电位降落。若,规定电位从高到低的电位降落为正,，,电位从低,到高的电位降落为负,，则,沿回路环绕一周,，,电位降落的代数和为,0,。用关系式表示为,具体,确定电阻,(,包括内阻,),上电位降落的正负号,要看回路的绕行方向与电流方向的关系：电,流方向与绕行方向相同为正，相反为负；,确定,(,理想,),电源上电位降落的正、负号,要看绕行,方向与电源极性的关系：从正极到负极看上去电位降落为正，从负极到正极看去为负。故,上式可写为如下形式,(3.56),由此上所列出的方程称为基尔霍夫第二方程,(,回路电压方程,),。例如,对于如图,3-32b,所示的,回路,ABCDA,，顺时针环绕一周，可写出方程,在这里当遇到有内阻的电源时，我们已按照,2.3,节图,3-14,的等效电路,把它们看成理想电压,源和内阻串联。,显然，对于每一个回路都可按照同样方式写出一个方程式。应该注意，并非按所有回,路写出方程式都是独立的。例如图,3-33,中的电路有三个回路,ABCA,、,AEDCA,和,AEDCBA,。由这三,个回路写出的三个方程中只有两个是独立的,另一个其实就是前两个方程的叠加，因此我们,3.4.1 基尔霍夫定律到高和从高到低的过程，统称电位降,4,3.4.1,基尔霍夫定律,说这个电路只有两个,独立回路,。对于一个复杂的电路，如何确定其独立回路的数目呢？如,果整个电路可化为平面电路，即所有的节点和支路都在一平面上而不存在相互跨越的情形，,则情况比较简单，我们可以把电路看成一张网格，其中网孔的数目就是独立回路的数目；,其它回路必定可以看成这些独立回路的某种叠加。如果整个电路不能化为平面电路而存在,相互跨越的情形,网孔的概念不再适用。我们应在,树图,的基础上建立独立回路的判据。,“,树,”,的概念是图论中的一个拓朴概念。一个任意电路的,树图,是指,将电路的全部节点都用支路连,接起来而不形成任何闭合回路的树支状图形,。这些连接节点的支路叫做,树支,。由于连接第,一、二两个节点时需要一条树支，以后每连接一个新的节点需要一条树支，而且也仅需要,一条树支，否则将形成回路，因此，个节点的电路的树图共有 条树支。这样，每再,连接一条新的支路,(,叫做,连支,),就形成一个独立回路,也就是说,连支的数目等于独立回路的,数目,。显然，,连支数等于支路总数减树支数,。故对于一个有 个节点 条支路的电路，共,有 个独立回路，可列出 个独立的回路电压方程，它们构成基尔霍夫,第二方程组。,于是，对于 个节点 条支路的复杂电路共有 个未知的电流。根据基尔霍夫第一定律,3.4.1 基尔霍夫定律说这个电路只有两个独立回路。对于,5,3.4.1,基尔霍夫定律,可列出 个独立的节点电流方程；根据基尔霍夫第二定律可列出 个独立的回路电,压方程，总共可列出的独立方程数为两者的和 。可见未知电流的数目与,独立方程式的数目相等，因此方程组可解，而且解是唯一的。所以，基尔霍夫定律原则上,可解决任何直流电路问题。,下面通过两个例题示范一下运用基尔霍夫定律解题的步骤。在解决实际问题时，针对,各种具体情况，还有许多办法可以使解题步骤简化。,【,例题,1】,已知图,3-33,所示的电路中，电动势 ，内阻 ，,电阻 ，求电路中,各支路电流。,【,解,】,（,1,）,标定各支路电流的方向如图中所示,(,见图,3-33),。在一,上复杂的电路中，电流的方向往往不能事后判断，可随意假定。,（,2,）,设求知变量,。如 、等。,（,3,）,选取独立节点，用基尔霍夫第一定律列节点电流方程,。,电路中只有两个节点,A,和,C,，只有一个是独立的。任选一个即可。,选取节点,A,，由,KCL,有：,3.4.1 基尔霍夫定律可列出 个独立的节点,6,3.4.1,基尔霍夫定律,（,4,）,选网孔为独立回路,，,由基尔霍夫第二定律列回路电压方程,。选取回路及绕行方向均如图,3-33,中所示。对回路,，由,KVL,有：或,对回路,有：,或,（,5,）,联立方程组,，,运用行列式求解,。,于是有：代入数值有：,运用行列式求解有：,则有：,3.4.1 基尔霍夫定律 （4）选网孔为独立回路，,7,3.4.1,基尔霍夫定律,从得到的结果看到，。这表明最初随意假定的电流方向中，的方向是正确的，,而 的标定方向与其实际方向相反。,【,例题,2,】,图,3-34,是一个电桥电路，其中,G,为检流计,(,内阻为,),，,求通过检流计的电流 与各臂阻值 、的关系,(,电源,内阻可忽略，为已知,),。,【,解,】,标定各支路电流的方向如图中所示，这里有 、三,个求知变量，我们相应地列出三个方程来：,，；,，；,，。,整理的得到,这联立方程组用行列式解出,(3.51),3.4.1 基尔霍夫定律 从得到的结果看到，,8,3.4.1,基尔霍夫定律,其中,(3.52),(3.53),从式,(3.51),和,(3.53),可以看出，当,(3.54),时,式,(3.54),就是我们在,3.2,节中得到的电桥平衡条件。那里证明了它是必要条件，这里证,明了它是充分条件。所以它是电桥平衡的充要条件。,3.4.1 基尔霍夫定律其中,9,3.5,温差电现象,电流通过导体产生焦耳热的过程与电流的方向无关,，,它是一个不可逆过程。,然而在一定的条件下，导体内还是可能产生可逆过程的：即,当电流沿某方向进行,时,，,导体上放出热量,；,当电流沿反方向进行时,吸收热量,。从能量转换的角度来,看，前者是电能转化为热能,后者是,热能转化为电能。这与电池的充电、放电过,程中电能与化学能之间的可逆转化相似。上述现象,表明导体内可以存在与热现象,有关的非静电力和电动势,，我们称之为,热电动势,。热电动势有两种具体形式，现,在分别介绍如下。,3.5 温差电现象 电流通过导体产生焦耳热,10,3.5.1,汤姆孙效应,如果我们设法将一金属棒的两端维持在不等的温度 和 上,并外加一电流通过此棒，,则在此棒中除了产生和电阻有关的焦耳热外，此棒还要吸收或释放一定的热量。这种效应,称为汤姆孙效应，吸收或释放的热量称为汤姆孙热。金属棒是吸热还是放热，与电流的方,向有关,(,见图,3-43),。如略去焦耳热与热传导等不可逆现象，电流反向时，汤姆孙效应是可,逆的。,从经典电子论来看，汤姆孙效应可这样,理解：金属中的自由电子好象气体一样，当,温度不均匀时会产生热扩散。这种热扩散作,用，可等效地看成是一种非静电力，它在棒,内形成一定的电动势,(,称为,汤姆孙电动势,),，,外加电流通过金属棒时，若其方向与非静电力一致，这相当于电池放电，自由电子将不断,从外界吸热，热能转化为电能。若电流方向与非静电力相反，则相当于电池充电，电能转,化为热能，向外释放出来。,实验表明，在汤姆孙效应中，作用在单位正电荷上的等效非静电力,K,其大小正比于温,3.5.1 汤姆孙效应 如果我们设法将一金属,11,3.5.1,汤姆孙效应,度的梯度,(,为绝对温度,),即,(3.63),式中比例系数与金属材料及其温度有关。于是整个棒内的汤姆孙电动势为,即,(3.64),式中 、分别为棒两端的温度。系数 称为金属材料的汤姆孙系数。汤姆孙电动势很,小，例如在室温下，铋的汤姆孙系数的数量级为 伏特,/,度。,显然，用同一种金属，只依靠汤姆孙电动势，不能在闭合回路中建立稳恒电流。因为,当我们将同一种金属,A,做成的两根棒如图,3-44,示联接起来，,并分别使它们的两端维持不同的温度 、时，式,(3.64),表,明，汤姆孙电动势的大小只与金属材料和两端的温度有关，,与金属棒的形状无关。因此，在这两根金属棒的回路中建立,了大小相等方向相反的两个电动势，它们在回路中相互抵消，,3.5.1 汤姆孙效应度的梯度 (为绝对温度,12,3.5.1,汤姆孙效应,不能形成稳恒电流。若采用两种不同金属的棒相联接，两个汤姆孙电动势不相等，闭合回,路中可以有电动势。然而这时在两种金属的联接处将产生下面要讲的另一种电动势，整个,闭合回路的电动势将在,5.3,节中一并考虑。,3.5.1 汤姆孙效应不能形成稳恒电流。若采用两种不同金,13,3.5.2,珀耳帖效应,当外加电流通过两种不同金属,A,和,B,间的接触面时，也会有吸热或放热的现象发生。这,种效应称为,珀耳帖效应,，吸收或释放的热量称为,珀耳帖热,。与汤姆孙效应一样，略去焦耳,热与热传导等不可逆现象，当电流反向时，,珀耳帖效应也是可逆的,(,见图,3-45),。,按经典电子论，珀耳帖效应可解释为不,同金属材料中自由电子的数密度 、不同,而引起的。由于密度不同，两种金属接触时，,自由电子将发生扩散。这种扩散作用，也可,等效地看成是一种非静电力，它在接触面上,形成一定的电动势,(,称为,珀耳帖电动势,),。与,汤姆孙效应类似，吸收和释放珀耳帖热的过程，分别与电池的放电和充电过程相当。珀耳,帖电动势除了与相互接触的金属材料有关外，还与温度有关，我们用 代表金属,A,、,B,在温度 接触时的珀耳帖电动势。珀耳帖电动势也不大,其数量级一般在 伏之间。,在单一温度下只依靠珀耳帖电动势也不能在闭合回路中建立稳恒电流。因为对于两种,金属联成的回路,若接触处的温度相同