单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的平均变化率和瞬时变化率,函数的平均变化率和瞬时变化率,变化率和导数课件,如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？,如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？,H,A,B,C,D,E,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,例：如图，是一座山的剖面示意图,:,A,是登山者的出发点,H,是山顶,登山路线用,y=f(x),表示,；,问题：当自变量,x,表示登山者的水平位置，,函数值,y,表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？,登山问题,x,HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的,H,A,B,C,D,E,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,O,y,x,x,0,x,1,y,0,y,1,A(x,0,y,0,),B(x,1,y,1,),选取平直山路,AB,放大研究,:,若,自变量的改变量,函数值的改变量,直线,AB,的斜率,:,HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y,D1,X3,H,A,B,C,D,E,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,O,y,x,x,0,x,1,y,0,y,1,A(x,0,y,0,),B(x,1,y,1,),O,y,x,x,2,x,3,y,2,y,3,C(x,2,y,2,),D,1,(x,3,y,3,),直线,AB,的斜率,:,直线,CD,1,的斜率,:,x,D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x,y,0,x,0,x,1,O,Y,x,A(x,0,y,0,),y,1,B(x,1,y,1,),y,2,C(x,2,y,2,),y,3,D(x,3,y,3,),y,4,E(x,4,y,4,),y0 x0 x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C,y,0,x,0,x,1,O,Y,x,A(x,0,y,0,),y,1,B(x,1,y,1,),y,2,C(x,2,y,2,),y,3,D(x,3,y,3,),y,4,E(x,4,y,4,),y0 x0 x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C,显然，“线段”所在直线的斜率的,绝对值,越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 的,绝对值,越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。,现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？,一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。,显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡,函数图象上也有类似定义，由此我们引出,函数平均变化率,的概念。,思考,：比值 表示的意义是什么？,它表示每一个单位上的函数值的平均增量。,函数图象上也有类似定义，由此我们引出函,平均变化率,曲线陡峭程度,数,形,变量变化的快慢,建构数学,平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢 建构数学,函数的平均变化率,已知函数 在点 及,其附近,有定义，,令,则当 时,比值,叫做函数 在 到 之间的,平均变化率,函数的平均变化率已知函数 在点 及,思考,:,函数平均变化率的几何意义？,O,A,B,x,y,Y=f(x),x,0,X,0,+x,f(x,0,),f(X,0,+x),x,直线,AB,的斜率,函数平均变化率,:,函数值的改变量与自变量的改变量之比,观察函数,f(x),的图象,过曲线 上的点,割线的斜率。,思考:函数平均变化率的几何意义？OABxyY=f(x)x0,思考,：（,1,）,x,、,y,的符号是怎样的？,（,2,）该变量应如何对应？,理解：,2,、对应性：,若,变化率和导数课件,例,1.,求函数 在 到 之间的平均变化率,解,:,当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,分析,:,当 取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样,.,例1.求函数 在 到,(2),求函数,在 到 之间的平均变化率,解,:,当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,(2)求函数 在 到,图,1,图,2,课堂练习：,甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（,1,）（,2,）所示，,（,1,）甲乙二人哪一个跑得快？,（,2,）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？,图1图2课堂练习：,例,3,：已知函数 ，计算函数在下列区间上的平均变化率。,解,:,当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,变化区间,自变量改变量,平均变化率,（,1,，,1.1,）,0.1,2.1,（,1,，,1.01,）,0.01,2.01,(1,1.001),0.001,2.001,(1,1.0001),0.0001,2.0001,例3：已知函数 ，计算函数,要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是,s,=,s,(,t,),，那么物体在时刻,t,的,瞬时速度,v,，就是物体在,t,到,t,+,D,t,这段时间内，当,D,t,0,时平均速度,的极限即,瞬时速度,要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻,函数的瞬时变化率,设函数 在 附近有定义，,当自变量在 附近改变 时，,函数值相应的发生改变,如果当 趋近于时，,平均变化率,趋近于一个常数 ，,则数 称为函数 在点 处的,瞬时变化率,。,函数的瞬时变化率设函数 在,导数,的概念,也可记作,若这个,极限不存在,，则称在点,x,0,处,不可导,。,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,=,x,0,的附近有定义，当自变量,x,在,x,0,处取得增量,x,(,点,x,0,+,x,仍在该定义内）时，相应地函数,y,取得增量,y,=,f,(,x,0,+,x,),-f,(,x,0,),，若,y,与,x,之比当,x,0,的极限存在，则称函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处,可导，,并称这个,极限,为函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处的,导数,记为,即,导数的概念也可记作 若这个极限不存在，则称在点x0 处不可,说明：,（,1,）函数,在点,处可导，是指,时，,有极限如果,不存在极限，就说函数在,处不可导，或说无导数,点,是自变量,x,在,处的改变量，,，而,是函数值的改变量，可以是零,（,2,）,说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限如果不存在极限，,注意：,注意：,由导数的定义可知，求函数,在,处的,导数的步骤,:,（,1,）求函数的增量,:,；,（,2,）求平均变化率,:,；,（,3,）取极限，得导数,:,由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量,例,:,高台跳水运动中，秒 时运动员相,对于水面的高度是,（单位：），求运动员在 时的瞬时,速度，并解释此时的运动状态,;,在 呢,?,例:,割线,PQ,的的变化情况,在,的过程中，,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗？,割线PQ的的变化情况在的过程中，请在函,P,Q,M,求已知曲线的切线,.,PQM求已知曲线的切线.,练习：,练习：,小结：,1.,函数的平均变化率,2.,求函数的平均变化率的步骤,:,(1),求函数的增量,f,=,y,=f(x,2,)-f(x,1,);,(2),计算,平均变化率,3.,求函数的瞬时变化率的步骤,:,一差 二化 三极限,小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:,