单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,函数的基本性质,1.3.1,单调性与最大,(,小,),值,第,1,课时函数的单调性,1.3函数的基本性质,【,知识提炼,】,1.,增函数与减函数的相关概念,f(x,1,)f(x,2,),【知识提炼】f(x1)f(x2),2.,函数的单调性及单调区间,增函数或减函数,单调性,区间,D,2.函数的单调性及单调区间增函数或减函数单调性区间D,【,即时小测,】,1.,思考下列问题,:,(1),所有的函数在定义域上都具有单调性吗,?,提示,:,并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数,f(x)=1,xR,在定义域上就不是单调的,.,【即时小测】,(2),增、减函数定义中的,“,任意,x,1,x,2,D,”,可否改为,“,存在,x,1,x,2,D,”,?,提示,:,不能改,如函数,f(x)=x,2,中,虽然,f(-1)f(2),但该函数在定义域上不是单调函数,.,(3),函数,f(x),在实数集,R,上是增函数,则,f(1)f(4),成立吗,?,提示,:,成立,.,由于函数在,R,上是增函数,且,14,故,f(1),B.k-,C.k,D.k-,【,解析,】,选,C.,若,y=(2k-1)x+b,是,R,上的减函数,则必有,2k-10,所以,kf(b),则,a,与,b,的大小关系是,.,【,解析,】,因为,f(x),在,R,上是增函数,所以当,f(a)f(b),时,有,ab.,答案,:,ab,4.若函数f(x)在R上是增函数,且f(a)f(b),则a,5.,如图所示为函数,y=f(x),x-4,7,的图象,则函数,f(x),的单调递增区间是,.,【,解析,】,结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函数的单调递增区间是,-4,-2,4,7.,答案,:,-4,-2,4,7,5.如图所示为函数y=f(x),x-4,7的图象,则函,【,知识探究,】,知识点,函数的单调性与单调区间,观察图形,回答下列问题,:,【知识探究】,问题,1:,上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么,?,它们的变化趋势是否相同,?,问题,2:,能否说,f(x)=,在定义域,(-,0)(0,+),上是减函数,?,问题1:上面四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它们的变化,【,总结提升,】,1.,对增函数、减函数概念的三点说明,(1),单调性是与,“,区间,”,紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个,“,局部,”,性质,.,【总结提升】,(2),定义中的,x,1,和,x,2,有如下三个特征,:,任意性,:,即,“,任意取,x,1,和,x,2,”,中,“,任意,”,二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般,;,有大小之分,;,属于同一个单调区间,.,(3),函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系,:,比如,f(x),在定义域,I,上是减函数,若,x,1,x,2,I,则,f(x,1,)f(x,2,)x,1,0,时,单调增区间为,(-,+);a0,时,单调减区间为,(-,0),和,(0,+);a0,时,单调减区间为,(-,m,单调增区间为,m,+);a4.,类型二函数单调性的判断与证明,【,解析,】,函数,f(x),在,(2,+),上是增函数,证明如下,:,任取,x,1,x,2,(2,+),且,x,1,x,2,则,f(x,1,)-f(x,2,)=,=(x,1,-x,2,)+=(x,1,-x,2,),因为,2x,1,x,2,所以,x,1,-x,2,4,x,1,x,2,-40,所以,f(x,1,)-f(x,2,)0,即,f(x,1,)f(x,2,).,所以函数,f(x)=x+,在,(2,+),上是增函数,.,【解析】函数f(x)在(2,+)上是增函数,证明如下:,【,延伸探究,】,1.(,变换条件、改变问法,),将本例中区间,“,(2,+),”,改为,“,(0,2),”,判断函数,f(x),的单调性,并证明,.,【延伸探究】,【,解析,】,函数,f(x),在,(0,2),上是减函数,证明如下,:,任取,x,1,x,2,(0,2),且,x,1,x,2,则,f(x,1,)-f(x,2,)=,=(x,1,-x,2,)+=(x,1,-x,2,),因为,0 x,1,x,2,2,所以,x,1,-x,2,0,0 x,1,x,2,4,x,1,x,2,-40,即,f(x,1,)f(x,2,).,所以函数,f(x)=x+,在,(0,2),上是减函数,.,【解析】函数f(x)在(0,2)上是减函数,证明如下:,2.(,变换条件、改变问法,),将本例中的函数,“,f(x)=x+,”,变为,“,f(x)=,”,求证函数,f(x),在,(-1,+),上为减函数,.,2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数“f(x)=x+,【,证明,】,任取,x,1,x,2,(-1,+),且,x,1,x,1,-1,所以,x,2,-x,1,0,(x,1,+1)(x,2,+1)0,因此,f(x,1,)-f(x,2,)0,即,f(x,1,)f(x,2,),所以,f(x),在,(-1,+),上为减函数,.,【证明】任取x1,x2(-1,+),且x1x2.,【,方法技巧,】,利用定义证明函数单调性的步骤,(1),取值,:,设,x,1,x,2,是该区间内的任意两个值,且,x,1,0,则必有,(,),A.,函数,f(x),先增后减,B.,函数,f(x),先减后增,C.,函数,f(x),是,R,上的增函数,D.,函数,f(x),是,R,上的减函数,【补偿训练】定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,【,解析,】,选,C.,由,0,知,当,ab,时,f(a)f(b);,当,ab,时,f(a)0知,当ab时,f(,【,延伸探究,】,(,改变条件,),本题若将,“,0,”,变为,“,(a-b)f(a)-f(b)b,时,f(a)f(b);,当,af(b),所以函数,f(x),是,R,上的减函数,.,【延伸探究】(改变条件)本题若将“0”,类型三,函数单调性的应用,【,典例,】,1.(2015,张家界高一检测,),已知函数,f(x)=,是,R,上的增函数,则,a,的取值范围是,.,2.(2015,广州高一检测,),已知函数,y=f(x),是定义在,(0,+),上的增函数,对于任意的,x0,y0,都有,f(xy)=f(x)+f(y),且满足,f(2)=1.,(1),求,f(1),f(4),的值,.,(2),求满足,f(2)+f(x-3)2,的,x,的取值范围,.,类型三函数单调性的应用,【,解题探究,】,1.,典例,1,中,x1,时对应的函数值,f(x),与,f(1),的大小关系如何,?,提示,:,f(x),是,R,上的增函数,所以,x1,时,f(x)f(1).,2.,典例,2,中,f(2)=1,则,2,与,f(2),什么关系,?,提示,:,2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).,【解题探究】1.典例1中x1时对应的函数值f(x)与f(1,【,解析,】,1.,因为,f(x),在,R,上是单调递增的函数,所以,f(x),需满足在,区间,(-,1,和,(1,+),上都是单调递增的,并且端点处,x=1,的函数值,-1,2,-a-5 ,即,a-3;f(x)=-x,2,-ax-5,的对称轴为直线,x=-,且在,(-,1,上单调递增,所以,-1,即,a-2;f(x)=,在,(1,+),上单调递增,所以,a0.,综上所述,a,的取值范围是,-3,-2.,答案,:,-3,-2,【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x),2.(1),令,x=y=1,得,f(1)=f(1)+f(1),所以,f(1)=0,令,x=y=2,得,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以,f(4)=2.,(2),由,f(2)=1,及,f(xy)=f(x)+f(y),可得,2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).,因为,f(2)+f(x-3)2,所以,f(2(x-3)f(4).,又函数,f(x),在定义域（,0,+,）上是单调增函数,所以 解得,3f(b)ab,单调减函数,f(x),中,f(a)f(b)af(3m-4),求,m,的取值范围,.,【,解题指南,】,由,y=f(x),在,R,上是增函数可知,f(2m+1)f(3m-4),2m+13m-4,解此不等式即可,.,【,解析,】,由,y=f(x),在,R,上是增函数且,f(2m+1)f(3m-4),知,2m+13m-4,解得,m5,所以,m,的取值范围是,(-,5).,【变式训练】(2015张掖高一检测)已知函数y=f(x)在,【,补偿训练,】,(2015,杭州高一检测,)f(x)=,是定义在,R,上的减函数,则,a,的取值范围是,.,【,解题指南,】,一次函数在定义域上单调递减,则一次项系数要小于,0.,【补偿训练】(2015杭州高一检测)f(x)=,【,解析,】,因为,f(x)=,是,R,上的减函数，,答案：,【解析】因为f(x)=是,规范解答,利用函数单调性求解参数取值范围,【,典例,】,(12,分,),已知,y=f(x),在定义域,(-1,1),上是减函数,且,f(1-a),f(2a-1),求,a,的取值范围,.,【,审题指导,】,不等式,f(1-a)f(2a-1),为抽象不等式,不能直接解,.,考虑到函数的单调性,可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系,即转化为具体不等式来求解,.,规范解答 利用函数单调性求解参数取值范围,【,规范解答,】,由题意可知,3,分,解得,0a1.,5,分,【规范解答】由题意可知,因为,f(x),在,(-1,1),上是减函数,且,f(1-a)2a-1,8,分,即,a .,9,分,由可知,0a ,11,分,即所求,a,的取值范围是,12,分,因为f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(2,【,题后悟道,】,1.,树立定义域优先的原则,研究函数问题,特别是研究函数的单调性时,要先看函数定义域,树立定义域优先的原则,如本例,若忽视定义域则将所求参数范围扩大,.,【题后悟道】,2.,准确理解增、减函数的意义,增函数、减函数的定义中蕴含了在定义区间内自变量的不等关系与相应函数值不等关系的相互转化,这一点要紧紧依赖函数的增减性,如本例若不注意函数是减函数则易将不等式转化错误,.,2.准确理解增、减函数的意义,高中数学必修一（人教版）教学ppt课件131单调性与最大（小）值,