单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 快速傅立叶变换,4.1 直接计算DFT的问题及改进的途径,复数加法,N,(,N,-1),复数乘法,N,2,1.将长序列DFT分解为短序列的DFT,2.利用旋转因子 的周期性、对称性。,1)周期性,2)对称性,4.2 基2FFT算法,4.2.1 时域抽取法(DIT-FFT)基2FFT基本原理,设序列 的长度为 ，且满足 (为自然数)，按 的奇偶把 分解为两个 点的子序列，得,则 的DFT为,由于 ，则上式可表示为,所以 又可表示为,蝶形运算符号为,8点DFT一次时域抽取分解运算流图,经过一次分解后，就使运算量减少近一半,同第一次分解相同，将 按奇偶数分解成两个 长度的子序列，,这,样，经过第二次分解后，又将 点DFT分解为两个 点DFT。,由四个2点DFT组成8点DFT,一个完整的8点DIT-FFT运算流图如下图,4.2.2 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较,N=2,M,的序列，通过M级分解最后成为1点的DFT运算。构成M级运算过程。,每一级运算都由N/2个蝶形运算构成。每一级运算含N/2次复乘和N次复加，,总运算量：,复乘,复加,显然，越大时，优越性就越明显,4.2.3 DIT-FFT的运算规律及编程思想,1)原位计算,观察每个蝶形的两个输入和两个输出,蝶形的输出可存入原输入数据所占存储单元,利用同一组存储单元存储输入、输出数据的方法，称为原位（址）计算。,节约内存,节省寻址的时间,2）旋转因子的变化规律,旋转因子 ：旋转因子指数 p,一般情况,第L级的旋转因子为,3)序列的倒序,顺 序,倒 序,十进制数I,二进制数,二进制数,十进制数 J,0,1,2,3,4,5,6,7,000,001,010,011,100,101,110,111,000,100,010,110,001,101,011,111,0,4,2,6,1,5,3,7,按顺序输出,则不按顺序输出,倒序；,如蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，蝶形运算如下：,4)蝶形运算规律,5)程序框图,4.2.4 频域抽取法(DIF-FFT)基2FFT基本原理,设序列 长度为 ，在把输出 按 的偶、奇来分解之前，首先将 前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：,DIF-FFT运算流图(,N,8),4.2.5 IDFT,的高效算法,DFT,IDFT,差别？,旋转因子 和系数,把DFT中的每一个系数 改为 ，,再乘以常数 1/N，,用FFT子程序计算IDFT,IFFT计算分三步：,将X（k）取共轭（虚部乘以-1）,对 直接作FFT,对FFT的结果取共轭并乘以1/N，得x（n）。,