1.3.2,“,杨辉三角,”,与二项式系数,的性质,人教,A,版选修,2-3,第一章,1.3.2“杨辉三角”与二项式系数人教A版选修2-3 第一章,复习,二项式定理,(,a,+,b,),n,=,C,n,0,a,n,+,C,n,1,a,n-1,b,1,+,C,n,k,a,n-k,b,k,+,C,n,n,b,n,展开式的第,k+1,项为,T,k+1,=,C,n,k,a,n-k,b,k,复习二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+,计算,(,a+b,),n,展开式的二项式系数并填入下表,n,(,a+b,),n,展开式的二项式系数,1,2,3,4,5,6,1,6,15,20,15,6,1,1,5,10,10,5,1,1,4,6,4,1,1,3,3,1,1,2,1,1,1,对称性,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b),(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,议一议,1,）请看系数有没有明显的规律？,2,）,上下两行有什么关系吗？,3,）,根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗,?,(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5,每行两端都是,1,C,n,0,=,C,n,n,=1,从第二行起，每行除,1,以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,C,n+1,m,=C,n,m,+C,n,m-1,(,a,+,b,),1,(,a,+,b,),2,(,a,+,b,),3,(,a,+,b,),4,(,a,+,b,),5,(,a,+,b,),6,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,每行两端都是1 Cn0=Cnn=1(a+b)1(a,杨辉三角,九章算术,杨辉,杨辉三角九章算术杨辉,详解九章算法,中记载的表,杨辉三角,详解九章算法中记载的表杨辉三角,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次,对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由,由,：,二项式系数,前,半部分是,逐渐增大,的，由对称性可知它的,后,半部分是,逐渐减小,的，且,中间项取得最大值,。,可知，当 时，,二项式系数的性质,增减性与最大值,由：二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的,因此,当,n,为偶数时,中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,中间两项的二项式系数,相等，且同时取得最大值。,增减性与最大值,二项式系数的性质,因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则：,例,1,证明在,(,a,+,b,),n,展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,赋值法,题型一 奇数项与偶数项的二项式系数的关系,例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和,课堂练习,课堂练习,例,2,题型二 求展开式的各项系数和,题后反思,求展开式各项系数的和与差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数的和特征来进行,.,例2题型二 求展开式的各项系数和题后反思 求展开式各项系数的,例,2,题型二 求展开式的各项系数和,例2题型二 求展开式的各项系数和,变式,题型二 求展开式的各项系数和,题后反思,求展开式各项系数的和与差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数的和特征来进行,.,变式题型二 求展开式的各项系数和题后反思 求展开式各项系数的,一般地，若,f,(,x,),=a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,n,x,n,，,则,f,(,x,),展开式,中各项系数之和,为,f(1),，,奇数项系数之和为,a,0,a,2,a,4,=,偶数项系数之和为,a,1,a,3,a,5,=,一般地，若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则,课堂练习,做一做,(1),的展开式中二项式系数最大的项是第,_,项,(2),已知,(,a-x,),5,=,a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,5,x,5,，若,a,2,=80,，则,a,0,+,a,1,+,a,2,+,a,5,=_.,6,和,7,1,(3),已知,(,1+x),10,=a,0,+a,1,(,1-,x,),+a,2,(,1-x,),2,+a,10,(,1-x,),10,，则,a,8,=(),A.180 B.90,C.-5,D.5,(4),的展开式中各项系数之和为,729,，则该展开式中,x,2,项的系数为,_.,A,160,课堂练习做一做 6和71(3)已知(1+x)10=a0+a1,课后小结,课后小结,要交作业,要交作业,思考,思考,