,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章IIR DF,无限长数字滤波器,的设计,6-1 引言,一、,DF,按频率特性分类,可分为低通、高通、带通、带阻和全通，,其特点为：,（1）频率变量以数字频率 表示，,为模拟角频率，,T,为抽样时间间隔；,（2）以数字抽样频率 为周期；,（3）频率特性只限于 范围，这,是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的,一半。,0,0,低通,0,高通,带通,0,0,带阻,全通,二、,DF,的性能要求（低通为例）,0,通带截止频率,阻带截止频率,通带,阻带,过渡带 平滑过渡,三、,DF,频响的三个参量,1、幅度平方响应,2、相位响应,3、群延迟,它是表示每个频率分量的延迟情况；当其为常数时，,就是表示每个频率分量的延迟相同。,四、,DF,设计内容,1、按任务要求确定,Filter,的性能指标；,2、用,IIR,或,FIR,系统函数去逼近这一性能要求；,3、选择适当的运算结构实现这个系统函数；,4、用软件还是用硬件实现。,五、,IIR,数字,filter,的设计方法,1、借助模拟,filter,的设计方法,（1）将,DF,的技术指标转换成,AF,的技术指标；,（2）按转换后技术指标、设计模拟低通,filter,的 ；,（3）,将,（4）如果不是低通，则必须先将其转换成低通,AF,的技术指标。,2、计算机辅助设计法（最优化设计法）,先确定一个最佳准则，如均方差最小准则，,最大误差最小准则等，然后在此准则下，确定系,统函数的系数。,6-2 将,DF,的技术指标转换为,ALF,的技术指标,一、意义,AF,的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；,设计图表；有典型的滤波器，如巴特沃斯，切比雪,夫等。,二、一般转换方法,1、,2、,3、,4、,三、转换举例,例如，一低通,DF,的指标：在 的通带,范围，幅度特性下降小于1,dB；,在 的,阻带范围，衰减大于15,dB；,抽样频率 ；,试将这一指标转换成,ALF,的技术指标。,解：按照衰减的定义和给定指标，则有,假定 处幅度频响的归一化值为1，,即,这样，上面两式变为,由于 ，所以当没有混叠时，根据关系式,模拟,filter,的指标为,6-3,ALF,的设计,ALF,的设计就是求出,filter,的系统函数,H,a,(S),，,使其逼近理想,LF,的特性，逼近的形式（,filter,的类型）,有巴特沃斯型，切比雪夫型和考尔型等。而且逼近,依据是,幅度平方函数,，即由幅度平方函数确定系统,函数。,一、由幅度平方函数确定系统函数,1、幅度平方函数,由于 所以,其中，是,AF,的系统函数，是,AF,的频响，,是,AF,的幅频特性。,2、,H,a,（S）H,a,（-S）,的零极点分布特点,（1）如果,S,1,是,H,a,（S）,的极点，那麽,-,S,1,就是,H,a,（-S）,的极点；同样，如果,S,0,是,H,a,（S）,的零点，那麽,-,S,0,就是,H,a,（-S）,的零点。所以,H,a,（S）H,a,（-S）,的零极点是呈,象限对称的,例如：,（2）虚轴上的零点一定是二阶的，这是因为,h,a,（t）,是实数时的,H,a,（S）,的零极点以共轭对存在；,（3）虚轴上没有极点（稳定系统在单位圆上无极点）；,（4）由于,filter,是稳定的，所以,H,a,（S）,的极点一定在,左半平面；最小相位延时，应取左半平面的零点，如无此,要求，可取任一半对称零点为,H,a,（S）,的零点。,3、由 确定 的方法,（1）求,（2）分解 得到各零极点，将左半面的,极点 归于 ，对称的零点任一半归 。若要求,最小相位延时，左半面的零点归 （全部零极点,位于单位圆内）。,（3）按频率特性确定增益常数。,例6-1 由,确定系统函数 。,解：,所以，极点为 零点为,均为二阶的。我们选极点-6，-7，一对虚轴零点,为 的零极点，这样,由 ，可确定出 ，,所以 。,因此,因,二、巴特沃斯低通滤波器,1、幅度平方函数,其中，,N,为整数，是,filter,的阶数；为截止频率。,当 时，则,即,（,1）通带内有最大平坦的幅度特性；,（2）不管,N,为多少，都通过,点。,2、幅频特性,1.0,0,N=2,N=4,N=8,3、巴特沃斯,filter,的系统函数,由于 所以其零点全部,在 处；即所谓全极点型，它的极点为,也就是说，这些极点也是呈象限对称的。而且分布,在巴特沃斯圆上（半径为 ），共有,2,N,点。,例如，,N=2,时，,N=3,时，,4,取 左半平面的极点为 的极点，,这样极点仅有,N,个，即,其中，常数 由 的低频特性决定。,则,例6-2导出三阶巴特沃斯,LF,的系统函数，设,解：,所以,其极点为,因此有,取前三个极点，则有,4、归一化的系统函数,如果将系统函数的,S,用滤波器的截止频率去除，这,样对应的截止频率变为1，即所谓归一化，相应的系统,函数称作归一化的系统函数记作,例如，对于巴特沃斯,filter,如果将低通,filter,归一化，就称作归一化原型,滤波器。,三、归一化原型,filter,的设计数据,不论哪种形式（巴特沃斯，切比雪夫）的,filter，,都有自己的归一化原型,filter，,而且它们都有现成的数,据表可查和设计公式,例如，归一化巴特沃斯原型,filter,的系统函数（这,里的,S,即 ）为,当 ,增益为1，则有 ，,N=110,阶的各,个系数，如表5-3，,P148,所示。,如果 ，则,E（S）,的根。即,的极点如表5-5，,P150,所示。,*由归一化系统函数 得 ，只需将,S,代,入 即可。,四、设计举例（巴特沃斯,filter）,1、,技术指标,2、计算所需的阶数及3,dB,截止频率,将技术指标，代入上式，可得,解上述两式得：,因此，,取N=6，则,3、的求得,查,P148，,表,5-3，可得,N=6,时的归一化原型模拟巴特,沃斯,LF,的系统函数为,将,S,用 代入，可得,6-4 冲激响应不变法,AF,设计完毕以后，还应将 变换成,H（Z），,也就是将,S,平面映射到,Z,平面。通常有三种方法：,（1）,冲激响应不变法,；,（2）阶跃响应不变法；,（3）双线性变换法。,我们这里只讨论冲激响应不变法。,一、变换原理,h（n）,为,DF,的单位冲激响应序列，为,AF,的,冲激响应，冲激响应不变法就是使,h（n）,正好等于,的抽样值，即,如果 则有,上式表明，先对 沿虚轴作周期延拓，再经过,的映射关系映射到,Z,平面。,二、混迭失真,DF,的频响并不是简单的重复,AF,的频响，而是,AF,的频响的周期延拓，即,根据取样定理，只有当,AF,的频响带限于折叠频率以内,时，即,才能使,DF,在折叠频率 内重现,AF,的频响，而不产生混,叠失真。但是，任何一个实际,AF,的频响却不是严格带,限的，就会产生,混迭,失真，如下图,0,三、,AF,的数字化方法,1、一般方法,。先 ，再对,抽样，使 ，最后,H（Z）=Zh（n），,一,般说来过程复杂。,2、方法的简化,设 只有单阶极点，而且分母的阶次大于分,子的阶次，可展成如下的部分公式,因此，,3、几点结论,（1）,S,平面的单极点 变为,Z,平面单极点,就可求得,H（Z）。,（2）,与,H（Z）,的系数相同，均为,（3）,AF,是稳定的，,DF,也是稳定的。,（4）,S,平面的极点与,Z,平面的极点一一对应，但两,平面并不一一对应。,例如，零点就没有这种对应关系。,4、修正的,H（Z）,由于,DF,的频响与,T,成反比，当,T,很小时，,DF,的增益,过高，这样很不好，为此做如下修正：,例6-3,AF,的系统函数为 ，,试用冲激响应不变法，设计,IIRDF，T=1,解：,设,T=1，,6-5 双线性变换法,通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到,频域，将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激,响应不变法设计,DF,时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠,失真，可采用,双变换,法。这种方法的基本思想是,，,先将,S,平面中,非带限的所设计的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然,后再转换到,Z,平面。,一、变换原理,在,S,平面与,Z,平面的映射关系中,我们知道，,S,平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个,Z,平,面.因此，可先将整个,S,平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个,Z,平面上。这样就,使,S,平面和,Z,平面是一一映射关系。如下图所示：,时，将由 经过0变到,由上图可知，将,S,平面进行压缩，实际上，就是将其 轴压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过,正切变换实现：,其中,C,为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到,通过欧拉公式，可得：,上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用,S,表示,Z，,可得：,将上式关系延拓到整个,S,和 平面，则有：,借助于 平面和,Z,平面的映射关系：，可以得到：,可见，也是线性分式变换（函数），这样()间的变换是,双向,的，故称作双线性变换,二、,S,平面与,Z,平面的映射关系,由于,可得：,（,1）当 时，；这就是说，,S,平面的 轴映射,Z,平,面的单位圆上。,（1）当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这表明,S,左半平面映射到,Z,平面的单位圆内。两者均是稳定的。,三、变换常数,C,的选择,由于 ，所以只有当 很小（一般,），和 之间才存在线性关系，即：,1.如果使,AF,和,DF,在低频处有较确切的对应关系，则选择,这时有 ，即,2.如果使,DF,的某一稳定频率（如 ）与,AF,的一特定频,严格相对应，则有,率,即,四、双线性变换的特点,1。,S,平面的虚轴（）映射到,Z,平面的单位圆上。这是因为,时，不管常数,C,为何值，均为1,2。稳定的,AF，,经双线性变换后所得,DF,也一定是稳定的，这是,因为稳定的,AF，,其极点必全部位于,S,的左半平面上，经双线性变,换后，这些极点全部落在单位圆内。,3。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下：,将 代入双线性变换公式，且 则,即,亦即,从 时，则 从 ；这就是说，,S,平面的正,虚轴被映射到,Z,平面的单位圆的上半部,从 时，则 从 ；这就是说，,S,平面的负虚轴被映射到,Z,平面的单位圆的下半部,也就是说，从,S,平面到,Z,平面，频率轴是单位变换关系，而且当,时，,为折叠频率，所以不会有高于折叠频率,的分量，因此不会产生混叠失真。,五、设计方法,1。直接代入法,只需将 代入,AF,系统函数 就可得到,DF,的系统函数 ，即,2.间接代入法,先将,AF,的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子,系统函数进行双线性变换。,变换关系近似于线性，随着 的增加，表现出严重 非线性。因此，,DF,的,幅频响应 相对于,AF,的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿,这种失真时，双线性变换法才是实用的。,4.频率的非线性失真,从 的关系曲线可以看出，在零频附近，与 之间的,例如,并联形式与上述类似,3。表格法,由于代入法 在应用时可能比较麻烦，因此如果能预先求出,AF,与,DF,的系统函数之间的关系，设计问题则变成查表，简单易行。,设,AF,的系统函数为：,注：上式分子与分母的阶次均为,N，,若分子阶次小时，可令最高几个阶次的 为零。,又设,DF,的系统函数为,P137,表5-1 给出了一至三阶的 系数 与 系数,关系,放映结束,