,2.3.1 向量数量积的物 理背景与定义,2.3.1 向量数量积的物 理背,复习回顾,x,1,+x,2,y,1,+y,2,x,1,-x,2,y,1,-y,2,x,1,y,1,1,、若向量a=(x,1,y,1,)，b=(x,2,y,2,),则向量a+b=（,，,）,向量a-b=（,，,）,向量,a=,（，）,复习回顾x1+x2y1+y2x1-x2y1-,2、若已知点A(x,1,y,1,)，B(x,2,y,2,),则向量AB=（，）,x,2,x,1,y,2,-y,1,3、向量a、b（b0）共线的充要,条件是什么？,a,=,b,若a=(x,1,y,1,)b=(x,2,y,2,)，则共线的充要条件是什么？,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,2、若已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)x2,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为,:,表示力F的方向与位移S的方向的,夹角,。,位移,S,O,A,F,F,S,W=F,S,COS,一.力做功的计算,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示,二.两个向量的夹角,b,a,OA,OB,已知两个非零向量,a,、,b,，=,a,，=,b,.,则AOB称作向量,a,和向量,b,的夹角,记作,.,并规定0 ,B,O,A,二.两个向量的夹角baOAOB已知两个非零向量a、b，,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；,b,a,B,O,A,O,A,a,B,b,B,b,a,O,A,A,a,O,B,b,（2）,a,，,b,=,b,，,a,；,（3）范围0,a,，,b,；,（4）,a,，,b,=0时,a,、,b,同向；,a,，,b,=时，,a,、,b,反向；,a,，,b,=90时，,a,b,.,（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.,几点说明,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平,如图，等边三角形中，求,（1）AB与AC的夹角；,（2）AB与BC的夹角。,A,B,C,通过平移,变成共起点！,练习1,如图，等边三角形中，求ABC 通过平移练习1,三.向量在轴上的正射影,（1）概念：,已知向量,a,和轴,l,，作 =,a,，过点O，A分别作轴,l,的垂线，垂足分别为O,1,，A,1,，则向量 叫做向量,a,在轴,l,上的正射影.,OA,1 1,O A,三.向量在轴上的正射影（1）概念：OA1 1 O,（2）正射影的数量：,向量,a,的正射影在轴,l,上的坐标，称作,a,在轴,l,上的数量或在轴,l,方向上的数量.,记作：,a,l,向量,a,的方向与轴,l,的正方向所成的角为,，,则有,（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标,1.,a,在轴,l,上的数量或在轴,l,方向上的数量是一个数量，不是向量.,2.当,为锐角时，数量为正值；,3.当,为钝角时，数量为负值；,4.当,为直角时，数量为0；,5.当,=0,时，数量为|,a,|；,6.当,=180,时，数量为,|,a,|.,几点说明,a,l,x,l,O,A,2,O,1,A,1,a,l,a,a,1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不,例1.已知轴,l,（1）.向量OA=5,OA,l,=60,求OA在上的正射影的数量OA,1,（2）.向量OB=5,OB,l,=120,求OB在,l,上的正射影的数量OB,1,(3)已知向量a,b,向量|a|=4,=60,0,则向量a在向量b上的正射影的数量,解：4cos60,0,=2,解,：OA,1,=5,COS,60,0,=5()=5/2,-5/2,例1.已知轴l（1）.向量OA=5,OA,l=6,四.向量的数量积（内积）,定义：叫做向量,a,和,b,的数量积（或内积）,记作：,a,b,.,即,a,b,=,四.向量的数量积（内积）定义：,1数量积,a,b,等于,a,的长度与,b,在,a,方向上正射影的数量|,b,|cos,的乘积.,几点说明,1数量积ab等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|,2两个向量的数量积是一个实数，符号由cos,a,，,b,的符号所决定；而数乘向量是一个向量。,O,A,B,a,b,O,A,B,a,b,为锐角时，,|,b,|,cos,0,为钝角时，,|,b,|,cos,0,为直角时，,|,b,|,cos,=0,B,O,A,a,b,量的数量积为0,3.规定零向量与任意向,4.,a,b,不能写成,a,b,，,a,b,表示向量的另一种运算,2两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号,两个向量的数量积的性质：,设,a,、,b,为两个非零向量，,e,是与,b,的单位向量.,1.,e,a,=,a,e,=|,a,|cos,;,2.,a,b,a,b,=0,3.,a,a,=|,a,|,2,或,4.cos,=；,5.|,a,b,|,a,|,.,|,b,|.,内积为零是判定两向量垂直的条件,用于计算向量的模,用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状,两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b的单,例2.已知|,a,|=5，|,b,|=4，=120，求,a,b,.,解：,a,b,=|,a,|,b,|cos,=54cos120,=10.,例2.已知|a|=5，|b|=4，=120，求a,练习2,已知|,a,|，|,b,|，当,a,b,，,a,b,，,a,与,b,的夹角是60时，分别求,a,b,a,b,时，,a,b,=,18；,a,b,时，,a,b,=,0；,a,与,b,的夹角是60时，,a,b,=9.,练习2 已知|a|，|b|，当ab，ab，,进行向量数量积,计算时,既要考,虑向量的模,又,要根据两个向量,方向确定其夹角。,例3、,),(,且方向相反,平行,与,2,CD,AB,),(,.,60,3,的夹角是,与,AD,AB,进行向量数量积例3、)(且方向相反平行与,2CDAB,),练习3,已知|,a,|=3,|,b,|=5，且,a,b,=12，求,a,在,b,方向上的正射影的数量及,b,在,a,方向上的正射影的数量。,解：因为,所以,a,在,b,方向上的正射影的数量是,b,在,a,方向上的正射影的数量是,(1),练习3已知|a|=3,|b|=5，且ab=12，求a在,A 锐角三角形,C 钝角三角形,D 不能确定,B 直角三角形,D,C,A 锐角三角形,B 直角三角形,C 钝角三角形,D 不能确定,A 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定B 直角,判断下列命题是否正确,1.若a=0,则对任意向量b，有a,b=0.,2.,若a0,则对任意非零向量b，有a,b,0.,3.,若a0,且a,b=0,则b=0.,4.若a,b=0，则a=0或b=0.,5.对任意的向量a，有a,2,=,a,2,.,6.若a0,且a,b=a,c,则b=c.,(,),(,),(,),(,),(,),(,),练习4,判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有a b,课堂小结,1.两个向量的夹角,2.向量在轴上的正射影,正射影的数量,3.向量的数量积（内积）,a,b=,4.两个向量的数量积的性质：,(1).,a,b,a,b,=0,(2).,a,a,=|,a,|,2,或,(3).,cos,=,范围0,a,，,b,；,课堂小结1.两个向量的夹角2.向量在轴上的正射影 正射影的数,9,、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。,2024/11/18,2024/11/18,Monday,November 18,2024,10,、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,11/18/2024 6:41:51 AM,11,、越是没有本领的就越加自命不凡。,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,Nov-24,18-Nov-24,12,、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,Monday,November 18,2024,13,、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,11/18/2024,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,18 十一月 2024,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,15,、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。,十一月 24,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,11/18/2024,16,、业余生活要有意义，不要越轨。,2024/11/18,2024/11/18,18 November 2024,17,、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,谢谢观赏,You made my day!,我们，还在,路,上,9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。2023/10/8,