,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,4.6.1,梯形法的递推化,由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出适宜的步长即n的选取，如何解决这样的难题。,4.6,龙贝格逐次分半加速法,1,2024/11/18,综合前几节的内容,我们知道,梯形公式,Simpson,公式,Cotes,公式的代数精度分别为,1,次,3,次和,5,次,复合梯形、复合,Simpson,、复合,Cotes,公式的收敛阶分别为,2,阶、,4,阶和,6,阶,无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的,有没有办法改善梯形公式呢,?,2024/11/18,2,一、复合梯形公式的递推化,各节点为,复合梯形,(Trapz),公式为,-(1),-(2),2024/11/18,3,-(3),由,(1)(2),两式可,4,2024/11/18,(3),式称为,递推的梯形公式,递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式,优点：梯形法计算简单,缺点：收敛慢，为了到达要求的精度，需要二分区间,屡次，分点大量增加，计算量很大,-(3),2024/11/18,5,那么由(1)(2)(3)式,有,2024/11/18,6,因此,(1)(2),(3),式可化为如下递推公式,-,(4),上式称为,复合变步长梯形求积公式,2024/11/18,7,二、外推加速公式,由复合梯形公式的余项公式,可得,由,(3),式,移项,合并,2024/11/18,8,复合,Simpson,公式,说明：由梯形公式前后两次结果的线性组合可构造出精确度较高的辛普森公式,2024/11/18,9,-(5),即,-(6),当然,2024/11/18,10,11,因此由复合,Simpson,公式的余项,可得,令,-(7),-(8),即,当然,2024/11/18,由复合,Cotes,公式的余项,得,令,-(9),即,当然,公式,(9),称为,龙贝格积分公式,2024/11/18,12,外推,加速,公式,以上整个过程称为,Romberg,算法,将,上,述,结,果,综,合,后,2024/11/18,13,其中外推加速公式可简化为,-(9),Romberg,算法的收敛,阶高达,m+1,的两倍,Romberg,算法求解步骤,Romberg,算法的,代,数,精度为,m,的两倍,2024/11/18,14,上述公式推导说明，,T,1,公式是梯形公式，对于次数不高于,1,的多项式准确；,S,1,是辛普森公式，对于次数不高于,3,的多项式准确；,C,1,是柯特斯公式，它对于次数不高于,5,的多项式准确，每一个公式均由前一公式的适当线性组合得到，精确度都提高,2,次。因此可以验证，由柯特斯公式,C,1,构造得到的龙贝格公式,R,1,，对次数不高于,7,次的多项式准确。,龙贝格公式计算积分,占用内存少,，,精度高,2024/11/18,15,龙贝格公式计算步骤：,其计算过程是将区间逐次分半，加速得到积分近似值，因此称为,逐次分半加速法,2024/11/18,16,0,0.9207355,1,0.9397933,0.9461459,2,0.9445735,0.9460869,0.9460830,3,0.9456909,0.9460833,0.9460831,0.9460831,例,1,将三个加速公式用于求,从表中可以看出三次加速求得,R,1,=0.9460831,每位数字都是,有效数字,17,2024/11/18,例,2.,18,2024/11/18,解：1在区间1,2上用梯形公式得,19,2024/11/18,20,2024/11/18,本章作业,P97 10,21,2024/11/18,牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的区间a,b的两端点a,b均是求积节点而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。,4.7.1,一般理论,4.7,高斯求积公式,22,2024/11/18,问题：对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅,A,k,而且,x,k,也加以选取,是否可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精度？,23,2024/11/18,25,2024/11/18,26,2024/11/18,定义：,27,2024/11/18,4.7.2,Gauss,求积公式的构造,先从简单情况入手,28,2024/11/18,29,2024/11/18,2024/11/18,30,2024/11/18,31,那么求积公式为,此式对任何不高于,3,次的多项式,f(x),都准确成立,32,2024/11/18,33,2024/11/18,34,2024/11/18,4.7.3,常用的,高斯型求积公式,35,2024/11/18,由于正交多项式随权函数不同，所以取不同的权函数时，那么有各种各样的Gauss型求积公式.,2024/11/18,36,1高斯勒让德求积公式,37,2024/11/18,2高斯切比雪夫求积公式,2024/11/18,38,注意：,39,2024/11/18,40,2024/11/18,4.7.4,高斯公式的余项,!,41,2024/11/18,4.7.5,高斯公式的稳定性,由本定理及定理2，那么得：,推论,高斯求积公式是稳定的,定理,6,高斯求积公式的求积系数,A,k,(k=0,1,2,，,n),全是正的,.,证明：,42,2024/11/18,本章作业,P97 12,43,2024/11/18,