单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面问题有限元分析,-,等参单元,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面问题有限元分析,-,等参单元,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面问题有限元分析,-,等参单元,*,2024/11/18,平面问题有限元分析,-,等参单元,1,第五章 平面问题有限元分析,等参单元,曹国华,5.1,四节点矩形单元位移 函数,5.2,四节点矩形单元应变与应力矩阵,5.3,四节点矩形单元刚度矩阵,5.4,等参单元,2023/9/28平面问题有限元分析-等参单元1第五章 平面,虽然三角形单元具有很好的“适应性”,，几乎任何复杂边界的弹性体总可以划分为三角形，并且三角形单元计算公式简单，,但精度较低,。,5.1,四节点矩形单元,位移函数,三角形单元间虽然能够保证位移连续，但应力的精度较差，不能很好的反映弹性体内应力的准确分布规律。为了提高计算精度，准确反映弹性体内的应力状态，可以采用一些较精密的单元类型。,本节将介绍常用的,矩形单元,，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。另外，对一些边界比较规则且呈直线的平面结构的分析，采用矩形单元较合适。这时单元总数可以减少，相应的原始数据准备工作和单元特征计算工作均可节省。,2024/11/18,2,平面问题有限元分析,-,等参单元,虽然三角形单元具有很好的“适应性”，几乎任何,如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的长、宽分别为,2,a,、,2,b,。矩形单元有,4,个节点，共,8,个自由度，即共有,8,个节点位移，采用类似三角形单元的分析方法，同样可以完成对矩形单元的力学特性分析。,5.1,四节点矩形单元位移函数,2024/11/18,3,平面问题有限元分析,-,等参单元,如图所示的矩形单元，不失一般性，令矩形单元的长、,这里引入一个局部坐标系,、,，这样可以推出比较简洁的结果。如图,所示,，,取矩形单元的形心,o,为局部坐标系的原点，,和,轴分别与整体坐标轴,x,和,y,平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系,式中：,、,矩形形心处坐标。,矩形形心处坐标以及矩形长、宽可由下式计算,5.1,四节点矩形单元位移函数,2024/11/18,4,平面问题有限元分析,-,等参单元,这里引入一个局部坐标系、，这样可以推出比较,5.1,四节点矩形单元位移函数,3(1,1),2(1,-1),1(-1,-1),4(-1,1),在局部坐标系中，节点,i,的坐标是 ，其值分别为,1,。如节点,1,在局部坐标系下的坐标为（,1,，,1,）。,2024/11/18,5,平面问题有限元分析,-,等参单元,5.1四节点矩形单元位移函数3(1,1)2(1,-1)1(-,由于矩形有,4,个节点，共,8,个自由度，可以选择有,8,个待定参数的位移模式，如下,该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的,8,个未知参数,1,，,2,，,，,8,5.1,四节点矩形单元位移函数,2024/11/18,6,平面问题有限元分析,-,等参单元,由于矩形有4个节点，共8个自由度，可以选择有,2024/11/18,7,平面问题有限元分析,-,等参单元,3(1,1),2(1,-1),1(-1,-1),4(-1,1),5.1,四节点矩形单元位移函数,2023/9/287平面问题有限元分析-等参单元3(1,1),求出,1,2,3,4,；,5,6,7,8,5.1,四节点矩形单元位移函数,2024/11/18,8,平面问题有限元分析,-,等参单元,求出1,2,3,4；5,6,7,式中：,矩形单元的形函数，,i,1,，,2,，,3,，,4,；,形函数矩阵；,单元节点位移列阵，,，,i,1,，,2,，,3,，,4,。,5.1,四节点矩形单元位移函数,3(1,1),2(1,-1),1(-1,-1),4(-1,1),2024/11/18,9,平面问题有限元分析,-,等参单元,式中：矩形单元的形函数，i1，2，3，4；形,（,i,1,，,2,，,3,，,4,）,形函数的表达式为,5.1,四节点矩形单元位移函数,3(1,1),2(1,-1),1(-1,-1),4(-1,1),2024/11/18,10,平面问题有限元分析,-,等参单元,（i1，2，3，4）形函数的表达式为5.1四节点矩形,引入符号 ，,i,1,，,2,，,3,，,4,，则上式可以统一写为,可以看出，矩形单元的形函数具有和三角形单元形函数同样的性质，即：形函数在各单元节点上的值，具有,“本点是,1,、它点为零”的性质；在单元内任意点上，四个形函数之和等于,1,；单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关。,有关证明过程比较简单，请自行推导。,5.1,四节点矩形单元位移函数,2024/11/18,11,平面问题有限元分析,-,等参单元,引入符号 ，,有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求出单元内任意点的应变，将位移代入几何方程，得,式中的应变转换矩阵 的子块 （,i,1,，,2,，,3,，,4,）为,5.2,四节点矩形单元应变与应力矩阵,2024/11/18,12,平面问题有限元分析,-,等参单元,有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程求出单元,5.2,四节点矩形单元应变与应力矩阵,2024/11/18,13,平面问题有限元分析,-,等参单元,5.2四节点矩形单元应变与应力矩阵2023/9/2813平面,求得应变之后，再将应变代入物理方程 ，便可推导出以节点位移表示的应力，如下,式中，应力矩阵 为,其子块 （,i,1,，,2,，,3,，,4,）为,5.2,应四节点矩形单元变与应力矩阵,2024/11/18,14,平面问题有限元分析,-,等参单元,求得应变之后，再将应变代入物理方程,由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了,项（即相当于,xy,项），把这种位移模式称为,双线性模式,。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从 的表达式中看出。另外四边形单元的位移模式中的 与三角形单元相同，它反映了刚体位移和常应变，而且在单元的边界上,(,=1,或,=1),，位移是按线性变化的，显然在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。,5.2,四节点矩形单元应变与应力矩阵,2024/11/18,15,平面问题有限元分析,-,等参单元,由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式比常应变三,由单元的应力矩阵 表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。正应力 、和剪应力 均沿,、,两个方向线性变化，即沿,x,、,y,两个方向线性变化。正因为如此，,若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。,但是，矩形单元也有一些明显的缺点，矩形单元不能适应斜交的边界和曲线边界，不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。,5.2,四节点矩形单元应变与应力矩阵,2024/11/18,16,平面问题有限元分析,-,等参单元,由单元的应力矩阵 表达式还可以看出，矩形单元中的应,矩形单元刚度矩阵的推导过程与三节点三角形单元类似，即 ，由前文可知 的推导过程与形函数的具体表达形式、节点个数均无关，该表达式具有普遍意义。,若单元厚度,t,为常量，则 可以进一步表示为,将单元刚度矩阵写成子块的形式，如下,5.3,四节点矩形单元刚度矩阵,2024/11/18,17,平面问题有限元分析,-,等参单元,矩形单元刚度矩阵的推导过程与三节点三角形单元类似，即,上式中每一个子块矩阵均为,2,行,2,列，单元刚度矩阵中的子块矩阵的表达式为,（,r,、,s,1,，,2,，,3,，,4,）,将应变转换矩阵子块 和弹性矩阵 ，代入上式，得,5.3,四节点矩形单元刚度矩阵,2024/11/18,18,平面问题有限元分析,-,等参单元,上式中每一个子块矩阵均为2行2列，单元刚度矩阵,式中：,（,r,、,s,1,，,2,，,3,，,4,）,5.3,四节点矩形单元刚度矩阵,2024/11/18,19,平面问题有限元分析,-,等参单元,式中：（r、s1，2，3，4）5.3四节点矩形单元刚度,例,如图所示，该模型中有两个四边形单元，弹性模量为 ,210GPa,，厚度为 ,0.025m,，泊松比 ,0.3,，,1kN,，求单元所受应力。,算例,2024/11/18,20,平面问题有限元分析,-,等参单元,例 如图所示，该模型中有两个四边形单元,解,：单元所对应的节点为,2,、,4,、,3,、,1,，单元所对应的节点为,4,、,6,、,5,、,3,。在有限元分析过程中，首先求解单元和的刚度矩阵；然后组装整体刚度矩阵，组装的过程同三角形单元，此处不再给出；最后引入边界条件（，,0,）并结合受力情况，求得整体节点位移列阵 ,10,-5,0,，,0,，,0,，,0,，,0.1162,，,-0.1674,，,-0.1149,，,-0.1628,，,0.1514,，,-0.4707,，,-0.1568,，,-0.4978,T,。,算例,2024/11/18,21,平面问题有限元分析,-,等参单元,解：单元所对应的节点为2、4、3、1，单元所对应的,解,：为了求解单元应力，需要先求得每个单元所对应的节点位移列阵，结合单元的节点编号，可从整体位移列阵中提取单元和单元的位移列阵，如下,10,-5,0,，,0,，,-0.1149,，,-0.1628,，,0.1162,，,-0.1674,，,0,，,0,T,10,-5,-0.1149,，,-0.1628,，,-0.1568,，,-0.4978,，,0.1514,，,-0.4707,，,0.1162,，,-0.1674,T,算例,注意,：,整体节点位移列阵是按照节点编号由小到大排列的，而单元位移列阵是按照单元节点编号排列的，如单元所对应的节点为,2,、,4,、,3,、,1,，则单元的位移列阵中的前两个数则表示节点,2,的,x,和,y,方向位移。,2024/11/18,22,平面问题有限元分析,-,等参单元,解：为了求解单元应力，需要先求得每个单元所对应的节点位,将单元和单元的位移列阵代入应力矩阵，可求得单元和单元的应力，如下,算例,2024/11/18,23,平面问题有限元分析,-,等参单元,将单元和单元的位移列阵代入应力矩阵，可求得单元和,通过以上两式便可以求得单元和单元内任意点的应力，以单元为例，若取 ，则表示单元的,13,边中点处的应力；若取 ，则表示,24,边中点处的应力。若计算单元形心处的应力，则取 ，为,通过分析结果可知，,单元内任意点的应力是坐标的函数，,若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度显然要高于常应变三角形单元的精度。,算例,2024/11/18,24,平面问题有限元分析,-,等参单元,通过以上两式便可以求得单元和单元内任意点,等参元是目前大型有限元程序中应用最广泛的单元,，它不仅能运用于各种曲线边界，而且能够构造出高精度的位移函数，所以广泛地在一维、二维和三维的各类问题中应用。本章以平面问题为例介绍等参元的计算方法。,地球表面上的一点可由画在地球表面的经线和纬线来确定，即 线。此坐标称,自然坐标,。其与直角坐标间的,变换关系,为,自然坐标及其坐标变换,o,R,z,y,x,5.4,等参单元,2024/11/18,25,平面问题有限元分析,-,等参单元,等参元是目前大型有限元程序中应用最广泛的单元，,二维单元的坐标变换,(,平面图形变换,),1,）整体坐标和局部坐标,2,）变换函数插值函数,由坐标变换的性质，如能找到将图（,b,）中的正方形映射到（,a,）中的任意直边四边形的变换式，则该变换式就是单元局部坐标与整体坐标的