数学思想方法在小学中的渗透,数学思想方法在小学中的渗透,学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。,米山国藏,日本数学家,学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没,一、什么是数学思想方法,（可从两方面认识）,对数学知识内容和所使用的方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。,可分为蕴含在数学知识的发生发展过程中的思想以及从中抽象出来的成为规律性的思想两类。,数学思想,中小学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。,基本数学思想：,是体现或应该体现于基础数学中具有奠基性和总结性的思维成果。,包括符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，函数与方程的思想，极限思想等。,一、什么是数学思想方法（可从两方面认识）对数学知识,数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体手段（或途径）。,具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。,人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。,数学方法,数学思想与数学方法既有区别又有密切的联系。,差异性：,数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性。数学思想是数学方法实施的依据，数学方法是数学思想得以实现的手段。,同一性：,表现在“数学思想与数学方法同属方法论的范畴”它们有时是等同的。,数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体手段（,小学数学涉及到的数学思想方法,集合思想,方程与函数思想,极限思想,化归思想,模型思想,符号化思想,推理思想,几何变换思想,分类讨论思想,分析与综合法,课程研究所 王永春,小学数学涉及到的数学思想方法集合思想方程与函数思,符号就是数学存在的具体化身。,S=,r,2,一、符号化思想,1符号化思想的含义。,用符号描述数学、研究数学的思想。,符号具有规范、概括、简明、准确等特点。,什么是数学？数学就是符号加逻辑。,罗素,英国著名哲学家数学家,符号就是数学存在的具体化身。S=r 2 一、符号化思想,2小学数学中常用的数学符号。,运算符号：,如：,、。,关系符号,：,表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称为关系符号。,如：,=,等。,性质符号,：,表示数或形的性质符号。,如：正号“”负号“”。,结合符号,：,如：,(),等,。,B,元素符号,：,表示数和几何图形的符号。,如：阿拉伯数字；表示数的字母，表示常数的字母；,“”表示角，“,”表示三角形等。,2小学数学中常用的数学符号。运算符号：如：、,3符号化思想在小学数学教材中的体现。,在概念的形成过程中，体现出数学符号,对概念本质反映,的特点。,在表示一些关系式时，渗透符号抽象、简明、易记的特点。,教学,用字母表示数,，体现代数式的特点。,a+b=b+a,S=ab,a,2,5,(,b+c,),-4,m,3符号化思想在小学数学教材中的体现。在概念的形成过程中，,4在教学中渗透符号化思想。,采取适宜方式，帮助学生,理解用代数式表示数量关系的概括性,。,从概念的本质揭示符号的意义。,适当介绍,符号的形成过程,。,五下分数,10以内数的认识,。,负数的认识,。,4在教学中渗透符号化思想。采取适宜方式，帮助学生理解用代,将待解决的问题，通过某种转化过程，归结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。,1.什么是化归思想？,二、化归思想,化归思想是数学家,最擅长的思想方法,。,将待解决的问题，通过某种转化过程，归结为另一个已解决或,2.化归思想常用的几种方法。,把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解，达到整个问题解决的方法。,过程：,分割法。,例,2.化归思想常用的几种方法。把要解决的问题分成若干,变形法。,对不易直接解决的问题，加以适当变形，实现由难到易的化归，达到问题解决。,例,映射法。,是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”，通过映射将原来的问题化归为新问题，在解决新问题的同时，原问题也得以解决。,例,变形法。对不易直接解决的问题，加以适当变形，实现,注意应用化归思想,解决教学中的问题,。,3.在小学数学教学中渗透化归思想。,明确渗透化归思想的教材因素。,数与代数,几何图形面积公式的推导,注意在教学中,渗透化归思想,。,注意应用化归思想解决教学中的问题。3.在小学数学教学中渗,数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。,数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。,1.什么是模型思想？,三、模型思想,数学课程标准对符号化思想有明确的要求，如要求学生“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”这实际上就包含了模型思想。但是，课程标准对第一、二学段并没有明确提出模型思想的要求,数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的,推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。,1.什么是推理思想？,四、推理思想,小学数学中推理思想的应用,推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的,1.什么是方程思想？,五、方程与函数思想,在解决问题时，将已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使问题得到解决的思维方式。,方程思想是解决问题的重要思想方法。,1.什么是方程思想？五、方程与函数思想 在解决问题时，,算术思维,方程思维,2.算术思维与方程思维的特点。,未知量、已知量地位不同。,思考过程往往是逆向的。,未知量、已知量地位同等，便于分析数量关系。,具有形式化、一般化的特点。,思考过程往往是顺向的。,算术思维方程思维2.算术思维与方程思维的特点。未知量、已知,从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般性、普遍性,。,四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远更不能腾飞,可是一引进代数方法,这些东西都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了,而且每个人都可以做,用不着天才人物想出许多招来才能做,非但可以跑得很远而且可以腾飞。,吴文俊,从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般性、普遍性。,3.克服方程思维,学习的障碍,。,列代数式。,说代数式的意义。,设定字母，列代数式。,适当加强文字语言与代数式“互译”的训练。,采用多种方法引导学生找出等量关系。,直观呈现数量关系。,半独立写等量关系。,设定未知量，列方程。,3.克服方程思维学习的障碍。列代数式。适当加强文字语言与,1.什么是函数思想？,函数思想,用运动、变化的观点去描述客观世界中量与量之间互相依赖、互相制约的关系的思想。,量与量之间的依赖关系是用函数来描述的。,什么是函数？,1.什么是函数思想？函数思想 用运动、变化的观点去描述,2.小学数学涉及的几种函数。,正比例函数,:,y,=,k,x,(,k,0,）,。,商不变时,被除数与除数;,正方形的周长与边长：,C,正方形,4,a,。,一次函数,:,y=,k,x,+,b,(,k,0,),。,一,元,二,次函数:,y=,a,x,2,+,bx+,c,(,a,0,）,反比例函数,（,y,=,k/x,k,0,）,。,S,正方形,a,2,S,圆,r,2,2.小学数学涉及的几种函数。正比例函数:y=kx,3.函数思想在小学数学教材中的体现。,渗透变量的概念,。,渗透,两个变量的依存关系,。,教学正、反比例，揭示两个相关联的变量的关系。,4挖掘素材,渗透函数思想,。,3.函数思想在小学数学教材中的体现。渗透变量的概念。渗透,1.什么是变换思想？,六、几何变换思想,变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。,。,中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。,1.什么是变换思想？六、几何变换思想变换是数学中一个带,1.什么是分类讨论思想？,七、分类讨论思想,人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。,其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。,小学数学中分类讨论思想的应用,1.什么是分类讨论思想？七、分类讨论思想人们面对比较复,1.什么是分析法与综合法？,八、分析法与综合法,分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。,数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。,分析法和综合法的运用,1.什么是分析法与综合法？八、分析法与综合法分析与综合,1.什么是集合思想？,九、集合思想,把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。,集合思想教学中应注意的问题,1.什么是集合思想？九、集合思想把指定的具有某种性质的,1,研究变量在一定的变化过程中的终极状态的思想。,1.什么是极限思想？,十、极限思想,1,2,1,3,1,4,1,n,0,1 研究变量在一定的变化过程中的终极状态的思想。1.什,极限描述性的定义：,极限,对于数列,a,n,:,a,1,a,2,a,3,a,n,如果当,n,无限增大,时,，,a,n,无限趋近于一个常数,A,，,则称,a,n,以,A,为极限,。,记作,:,lim,n,n,a,=,A,极限描述性的定义：极限 对于数列 an:a1,2.我国古代的极限思想,3.在小学数学教学渗透极限思想,帮助学生理解无限,。,通过直观手段，帮助学生,理解“无限逼近”,。,极限思想的萌芽,。,极限思想的应用,。,4.运用极限思想,对一些问题做出正确的解释,。,2.我国古代的极限思想3.在小学数学教学渗透极限思想帮助,