,-,#,-,一曲线的参数方程,第二,讲,参数,方程,第二讲 参数方程,一,曲线的参数方程,一曲线的参数方程,1,.,了解学习参数方程的必要性,.,2,.,理解参数方程、普通方程的概念,通过比较参数方程和普通方程,体会两者的联系与区别,.,3,.,掌握圆的参数方程及其参数的意义,.,4,.,能用圆的参数方程解决一些简单问题,.,5,.,能进行普通方程和参数方程的互化,.,1.了解学习参数方程的必要性.,1,.,参数方程的,概念,(2),参数是联系变数,x,y,的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数,.,1.参数方程的概念(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是,A.3,B.2,C.1,D.,-,1,A.3,2,.,圆的参数,方程,2.圆的参数方程,A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,解析,:,直线,y=ax+b,通过第一、二、四象限,则,a,0,所以圆心,(,a,b,),在第二象限,.,答案,:,B,A.第一象限B.第二象限,3,.,参数方程和普通方程的互化,(1),曲线的,参数方程,和,普通方程,是曲线方程的不同形式,.,(2),在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x,y,的取值范围,保持一致,.,两式平方相加,得,(,x-,1),2,+y,2,=,4,.,答案,:,(,x-,1),2,+y,2,=,4,3.参数方程和普通方程的互化两式平方相加,得(x-1)2+y,【做一做,3,-,2,】,已知圆的方程为,x,2,+y,2,-,6,y=,0,将它化为参数方程,.,解,:,由,x,2,+y,2,-,6,y=,0,得,x,2,+,(,y-,3),2,=,9,.,令,x=,3cos,y-,3,=,3sin,【做一做3-2】已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化,1,.,曲线参数方程的特点,剖析,曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量,x,y,间的联系,.,在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义,.,曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着相应的参数值,.,在具体问题中,要求相应曲线的参数方程,首先就要注意参数的选取,.,一般来说,选择参数时应考虑以下两点,:,一是曲线上每一点的坐标,(,x,y,),都能由参数取某一值唯一地确定出来,;,二是参数与,x,y,的相互关系比较明显,容易列出方程,.,参数的选取应根据具体条件来考虑,可以是时间,也可以是线段的长度、方位角、旋转角,动直线的斜率、倾斜角、截距,动点的坐标等,.,有时为了便于列出方程,也可以选两个以上的参数,再设法消去其中的参数得到普通方程,或剩下一个参数得到参数方程,.,但这样做往往增加了变形与计算的麻烦,所以参数个数一般应尽量少,.,1.曲线参数方程的特点,2,.,求曲线参数方程的步骤,剖析,第一步,画出轨迹草图,设,M,(,x,y,),是轨迹上任意一点的坐标,.,画图时要注意根据几何条件建立适当的坐标系,以利于发现、表达变量之间的关系,.,第二步,选择适当的参数,.,例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数,;,在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数,.,此外,离某一定点的,“,有向距离,”,、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数,.,第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略,.,2.求曲线参数方程的步骤,3,.,参数方程与普通方程的互化,剖析,(1),参数方程化为普通方程,一般地,将参数方程中的参数消去就会得到普通方程,常采用消去法或代入法进行消参,.,(2),普通方程化为参数方程,3.参数方程与普通方程的互化,(3),消参的常用方法,代入法,.,先由一个方程求出参数的表达式,(,用直角坐标变量表示,),再代入另一个方程,.,(3)消参的常用方法,题型一,题型二,题型三,题型四,曲线的参数方程,【例,1,】,选取适当的参数,把直线方程,y=,2,x+,3,化为参数方程,.,解,:,选,t=x,则,y=,2,t+,3,反思,选择合适的参数是将普通方程化为参数方程的关键,.,题型一题型二题型三题型四曲线的参数方程反思选择合适的参数是将,题型一,题型二,题型三,题型四,A,.,(0,2),B,.,(,-,1,6),C,.,(1,3),D,.,(3,4),所以点,(0,2),(,-,1,6),均不在曲线上,.,对于点,(1,3),当,x=,1,时,t=,0,此时,y=,2,即点,(1,3),不在曲线上,.,故选,D,.,答案,:,D,题型一题型二题型三题型四A.(0,2)B.(-1,6)所以,题型一,题型二,题型三,题型四,圆的参数方程及应用,【例,2,】,如图,已知点,P,是圆,x,2,+y,2,=,16,上的一个动点,定点,A,(12,0),当点,P,在圆上运动时,利用参数方程求线段,PA,的中点,M,的轨迹,.,分析,:,设,POA=,为参数,则圆,O,的参数,方程,为,(,为,参数,),.,当,变化时,动点,P,在定圆,O,上运动,线段,PA,随之变动,从而中点,M,在运动,.,因此点,M,的运动与,有关,从而可以表示点,M,的坐标,求出点,M,的轨迹方程,.,题型一题型二题型三题型四圆的参数方程及应用,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,设,POA=,以,为参数,故点,M,的轨迹是以点,(6,0),为圆心、,2,为半径的圆,.,反思,利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的参数方程的主要应用之一,.,题型一题型二题型三题型四解:设POA=,以为参数,故,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,已知点,P,是圆,x,2,+y,2,=,9,上的一个动点,定点,A,(9,0),点,M,在线段,PA,上,且,2,|PM|=|MA|,当点,P,在圆上运动时,求点,M,的轨迹的参数方程,.,解,:,设点,M,的坐标是,(,x,y,),xOP=,则点,P,的坐标是,(3cos,3sin,),.,因为,2,|PM|=|MA|,题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知点P是圆x2+y,题型一,题型二,题型三,题型四,参数方程与普通方程的互,化,解,:,(,x-,1),2,+,(,y+,2),2,=,16cos,2,t+,16sin,2,t=,16,即,(,x-,1),2,+,(,y+,2),2,=,16,它表示以,(1,-,2),为圆心,4,为半径的圆,.,反思,普通方程化为参数方程,就是要把,x,y,分别用参数表示出来,所以我们要分别找出参数与,x,y,的关系,然后表达出来即可,另外要特别注意参数的取值范围,.,参数方程化为普通方程的关键是消去参数,并且要保证等价性,.,若不可避免地破坏了同解变形,则一定要通过,x=f,(,t,),y=g,(,t,),根据,t,的取值范围推导出,x,y,的取值范围,.,题型一题型二题型三题型四参数方程与普通方程的互化解:(x-1,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,(1),将下列参数方程化为普通方程,:,(2),已知圆的普通方程为,x,2,+y,2,+,2,x-,6,y+,9,=,0,将它化为参数方程,.,解,:,(1),(,x-,2),2,+y,2,=,9cos,2,+,9sin,2,=,9,故原参数方程的普通方程为,(,x-,2),2,+y,2,=,9,.,题型一题型二题型三题型四【变式训练3】(1)将下列参数方程,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一题型二题型三题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析,易错点,:,忽视参数的取值范围而致错,【例,4,】,已知点,P,(,x,y,),满足方程,x,2,+y,2,=,1(,x,0,y,0),试求,x+y,的最大值和最小值,.,错因分析,:,忽视了已知条件,x,0,y,0,对角,的范围的限制,.,题型一题型二题型三题型四易错辨析错因分析:忽视了已知条件x,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,在曲线的参数方程与普通方程的互化中,必须使,x,y,的取值范围保持一致,.,题型一题型二题型三题型四反思在曲线的参数方程与普通方程的互化,