单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中考数学中的最短问题,-,线段和、差的最值问题,学习目标,掌握线段和、差最值的求解方法。,知识准备,1、轴对称的性质；,2、两点之间线段最短；,3、垂线段最短；,4、勾股定理；,5、角、等腰三角形、特殊四边形、圆的轴对,称性。,A,B,如图，要在街道旁修建一个奶站,P,，向居民区,A、B,提供牛奶，奶站,P,应建在什么地方，才能使从,A，B,到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,P,A,B,A,P,如图，要在街道旁修建一个奶站,P,，向居民区,A、B,提供牛奶，奶站,P,应建在什么地方，才能使从,A，B,到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,求线段和最小值的一般步骤：,连结对称点,A,与,B,之间的线段，交直线,l,于点,P,，,点,P,即为所求的点，线段,A,B,的长就是,AP+BP,的最小值。,选点,P,所在直线,l,为对称轴；画出点,A,的对称点,A,；,B,A,P,L,A,基本图形:,两点一线,B,B,P,L,A,基本解法:,利用对称性,将“折”转“直”,出题背景变式有,：,角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。,解题思路,：,找点关于线的对称点，实现,“,折,”,转,“,直,”,。,类型1：两个定点，一个动点,如图，菱形,ABCD,的两条对角线分别长,6,和,8,，点,P,是对角线,AC,上的一个动点，点,M,、,N,分别是边,AB,、,BC,的中点，则,PM,+,PN,的最小值是,_,A,D,C,B,M,N,P,M,P,5,1,、如图，正方形,ABCD,的边长为,2,，,E,为,AB,的中点，,P,是,AC,上一动点连结,BD,，由正方形对称性可知，,B,与,D,关于直线,AC,称连结,ED,交,AC,于,P,，则,PB+PE,的最小值等于线段,_,的长度，最小值等于,_,；,2,、小聪根据实际情况，以街道旁为,x,轴，建立了如图,1,所示的平面直角坐标系，测得,A,点的坐标为（,0,，,3,），,B,点的坐标为（,6,，,5,），求从,A,、,B,两点到奶站,P,距离之和的最小值。,练习,A,P,C,B,A,E,P,D,C,DE,5,3、如图所示，在边长为,2,的正三角形,ABC,中，,E,、,F,、,G,分别为,AB,、,AC,、,BC,的中点，点,P,线段,EF,上一个动点，连接,BP,、,GP,，,则,（,1,）,PB+PG,的最小值是,（2,）,BPG,周长的最小值是,。,F,E,P,G,C,B,A,P,3,2,4、已知：如图，,AB,是,O,的直径，,AB=4,，点,C,是半圆的三等份点，点,D,是弧,BC,的中点，,AB,上有一动点,P,，连接,PC,，,PD,，则,PC+PD,的最小值是多少？并画出点,P,的位置,.,A,B,C,O,P,D,D,P,类型2：两个动点，一个定点,（陕西省）如图3，在锐角ABC中，AB=，BAC=45，BAC的平分线交 BC于点D，M、N 分别是AD 和 AB上的动点，则BM+MN 的最小值是_,1、如图，菱形,ABCD,中，,AB=2,，,A=120,，点,P,，,Q,，,K,分别为线段,BC,，,CD,，,BD,上的任意一点，则,PK+QK,的最小,值为（）,A,、,1,B,、,C,、,2,D,、,+1,A,Q,B,P,K,C,D,P,Q,K,B,E,练习：,类型3：多条线段和最小,如图，在直角坐标系中，点,A,的坐标是（,2,4,），点,B,的坐标是（,6,2,），在,y,轴和,x,轴上找两点,P,、,Q,，使得,A,，,B,，,P,，,Q,四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出,P,、,Q,两点的坐标。,B,A,P,Q,.,P,Q,.,练习：,著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图5所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.,类型,4,：先平移，再对称,如图11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.,（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；,（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.,（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接 G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GCEF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.,又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.,因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4,D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1.,所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G 的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）,练习,看这样一题：要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸平行），请提供一种设计方案，使从A地到B地的路径最短，请说明理由。,如图，已知二次函数y=ax,2,-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）点B（0，-5）点,C,(I),已知该函数图象的对称轴上存在一点,P,，使三角形,PAB,的周长最小，求出点,P,的坐标。,（,2,）已知该函数图象的对称轴上存在一点,F,，使,FC-FB,值最大请求出点,F,的坐标,x,O,A,B,y,P,C,类型,5,：线段差的最大值,拓展,如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=_。,变式应用,求函数y=+最小值。,小结升华,不管在什么背景下，有关线段和、差最值问题，,大都借助于“轴对称”，实现“折”转“直”,本节课学习的主题,问题，,解题思路：,线段和、差的最值,数学思想：,转化思想,当堂检测,1,、如图,O,的半径为2，点 A,B,C在,O,上，P是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；,2,、如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .,3,、如图4，AOB=45，P是AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值,4,、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1（1）求反比例函数的解析式；,（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.,5,、如图1，在直角坐标系中，点A，B，C坐标分别为（1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线，D为对称轴 上一动点,求当,DB-DC,最大时,，点D的坐标,6,、（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_,7,、已知直角梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,BC,，,AD,=2,，,BC,=,DC,=5,，点,P,在,BC,上移动，则当,PA,+,PD,取最小值时，,APD,中边,AP,上的高为（）,A,、,B,、,C,、,D,、,3,A,P,D,B,C,.,