单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章直角三角形的边角关系,5,三角函数的应用,1,课前预习,1.,如图,X1-5-1,C,D,分别是一个湖的南、北两端,A,和,B,正东方向的两个村庄,CD,=6km,且,D,位于,C,的北偏东,30,方向上,则,AB,的长为 （）,B,2,2.,如图,X1-5-2,一艘海轮位于灯塔,P,的北偏东,30,方向,距离灯塔,60,海里的,A,处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔,P,的南偏东,45,方向上的,B,处,这时,海轮所在的,B,处与灯塔,P,的距离为 （）,A,3,3.,如图,X1-5-3,在热气球,C,处测得地面,A,B,两点的俯角分别为,30,45,热气球,C,的高度,CD,为,100 m,点,A,D,B,在同一直线上,则,AB,两点的距离是 （）,4.,如图,X1-5-4,一水库大坝的横断面为梯形,ABCD,坝顶,BC,宽,6 m,坝高,20 m,斜坡,AB,的坡度,i=12.5,斜坡,CD,的坡角为,30,则坝底,AD,的长度为（）,D,C,4,名师导学,新知,1,与方向角有关的应用问题,如图X1-5-5,在平面上,过观测,点,O,作一条水平线(向右为东向)和一,条铅垂线(向上为北向),则从点,O,出,发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角,例如：如图X1-5-5“北偏东30”是一个方向角,又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线,此时的方向角为“北偏西45”(或“西偏北45”),5,【,例,1】,（,2014,珠海）如图,X1-5-6,一艘,渔船位于小岛,M,的北偏东,45,方向、距离,小岛,180,海里的,A,处,渔船从,A,处沿正南方,向航行一段距离后,到达位于小岛南偏,东,60,方向的,B,处,.,(1),求渔船从,A,到,B,的航行过程中与小,岛,M,之间的最小距离,(,结果用根号表示,),；,(2),若渔船以,20,海里,/,小时的速度从,B,沿,BM,方向行驶,求渔船从,B,到达小岛,M,的航行时间,(,结果精确到,0.1,小时,).(,参考数据：,1.41,1.73,2.45),6,解析,(1),过点,M,作,MD,AB,于点,D,根据,AME,的度数求出,AMD,=,MAD,=45,再根据,AM,的值结合特殊角的三角函数值即可求出,MD,的值；,(2),在,Rt,DMB,中,根据,BMF,=60,得出,DMB,=30,再根据,MD,的值求出,MB,的值,最后根据路程,速度,=,时间,即可得出参考答案,.,7,解,(1),如图,X1-5-7,过点,M,作,MD,AB,于,点,D,MD,即为最小距离,.,AME,=45,AMD,=,MAD,=45.,AM,=180,海里,MD,=,AM,cos45=(,海里,).,答：渔船从,A,到,B,的航行过程中与小岛,M,之间的最小距离是,海里,.,(2),在,Rt,DMB,中,BMF,=60,DMB,=30.,MD,=,海里,MB,=,（海里）,.,答：渔船从,B,到达小岛,M,的航行时间约为,7.4,小时,.,8,举一反三,1.,如图,X1-5-8,一渔船由西往东航行,在,A,点测得海岛,C,位于北偏东,60,的方向,前进,20,海里到达,B,点,此时,测得海岛,C,位于北偏东,30,的方向,则海岛,C,到航线,AB,的距离,CD,等于 （）,A.10,海里,B.,海里,C.,海里,D.20,海里,C,9,2.,（,2015,郴州）如图,X1-5-9,要测量,A,点到河岸,BC,的距离,在,B,点测得,A,点在,B,点的北偏东,30,方向上,在,C,点测得,A,点在,C,点的北偏西,45,方向上,又测得,BC,=150 m,求,A,点到河岸,BC,的距离,.,（结果保留整数,参考数据：,1.41,1.73,）,10,解：如答图,X1-5-1,，过点,A,作,AD,BC,于点,D,，设,AD,=,x,m.,在,Rt,ABD,中，,ADB,=90,，,BAD,=30,，,BD,=,AD,tan30=.,在,Rt,ACD,中，,ADC,=90,，,CAD,=45,，,CD,=,AD,=,x,.,BD,+,CD,=,BC,，,+,x,=150.,x,=75,（,3-,）,95(m).,答：,A,点到河岸,BC,的距离约,为,95 m.,11,新知,2,与仰角、俯角有关的应用问题,【,例,2】,如图,X1-5-10,测量人员在,山脚,A,处测得山顶,B,的仰角为,45,沿着仰角为,30,的山坡前进,1 000 m,到达,D,处,在,D,处测得山顶,B,的仰角为,60,求山的高度,.,解析,根据题目所给的度数可,判定,ABD,是等腰三角形,AD,=,BD,然后解直角三角形,可求出,BE,的长和,CE,的长,从而可求出山的高度,.,12,解,BAC,=45,DAC,=30,BAD,=15.,BDE,=60,BED,=90,DBE,=30.,ABC,=45,ABD,=15.,DAB,=,ABD,.,AD,=,BD,=1 000(m).,如图,X1-5-11,过点,D,作,DF,AC,于点,F,.,AC,BC,DF,AC,DE,BC,DFC,=,ACB,=,DEC,=90.,四边形,DFCE,是矩形,.,DF,=,CE,.,在直角三角形,ADF,中,DAF,=30,DF,=,AD,=500(m).,EC,=500(m),BE,=1 000sin60=(m).,BC,=500+,（,m,）,.,答：山的高度为（,500+,）米,.,13,举一反三,1.,如图,X1-5-12,为了测量某栋,大楼的高度,AB,在,D,处用高为,1 m,的,测角仪,CD,测得大楼顶端,A,的仰角为,30,向大楼方向前进,100 m,到达,F,处,又测得大楼顶端,A,的仰角为,60,则这栋大楼的高度,AB,为（）,A,14,2.,如图,X1-5-13,已知楼,AB,高,36 m,从楼顶,A,处测得旗杆顶,C,的俯角为,60,又从该楼离地面,6 m,的一窗口,E,处测得旗杆顶,C,的仰角为,45,求该旗杆,CD,的高,.,（结果保留根号）,15,解：如答图,X1-5-2,，过点,C,作,CG,AE,，垂足为点,G,.,由题意得,CEF,=45=,CEG,，,ACG,=60,，,设,CG,=,x,在,Rt,ACG,中，,AG,=,CG,tan,ACG,=,在,Rt,ECG,中，,AG,+,EG,=,AE,，,x,+,x,=36-6.,答：该旗杆,CD,的高为（,-9,）,m.,16,新知,3,与坡度、坡角有关的应用问题,【,例,3】,如图,X1-5-14,是一座人行天桥,天桥的高为,12 m,坡面的坡比,i,=11,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为,30,问离原坡底,8 m,处的大型广告墙,M,要不要拆除,.,解析,如图,X1-5-15,由原来的坡比求出,CF,的长度,然后根据新坡比求出,FG,继而根据,BG,=,FG,-,FB,可得出,BG,的长度,与,8 m,比较即可作出判断,.,17,解,坡面的坡比,i,=11,CBF,=45.,又,CF,=12 m,FB,=12 m.,由于新的斜坡的坡角为,30,如果坡底用字母,G,表,示,如图,X1-5-15,则,CG,=2,CF,=24(m),FG,=(m).,故可得,BG,=-12=8.784 m,8 m,所以大型广告墙,M,要拆除,.,答：大型广告墙,M,要拆除,.,18,举一反三,1.,河堤横断面如图,X1-5-16,所示,堤高,BC,=6 m,迎水坡,AB,的坡比为,13,则,AB,的长为 （）,A,19,2.,如图,X1-5-17,一堤坝的坡角,ABC,=62,坡面长度,AB,=30 m,（图为横截面）,为了使堤坝更加牢固,一施工队欲改变堤坝的坡面,使得坡面的坡角,ADB,=50,则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果精确到,1 m,参考数据：,sin620.88,cos620.47,tan501.20,）,20,解：如答图,X1-5-3,，过点,A,作,AE,CD,于点,E,.,在,Rt,ABE,中，,ABE,=62,AE,=,AB,sin62=300.88=26.4(m),，,BE,=,AB,cos62=300.47=14.1(m).,在,Rt,ADE,中，,ADB,=50,，,DB,=,DE,-,BE,8(m).,答：此时应将坝底向外拓宽大约,8m.,21,