单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,其次十四章 圆 第11课时,直线和圆的位置关系,3切线长定理,学习目标1分钟,1了解切线长的概念,2娴熟把握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,自学指导12分钟,认真阅读课本99页至100页内容，完成练习：,1.,切线长,：过圆外一点作圆的切线,_和_之间的线段的,长,叫做这点到圆的切线长.,2.,如图,PM,PN是O的两条切线,切点分别是M,N.,(1)OMP=_,ONP=_.,(2)_,可证RtPOMRtPON,(_),PM=_,OPM=_.,切线长的定理,：,从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线,长_,这一点和圆心的连线平分_的夹角.,几何语言表述：,_,_,，,_.,3.,三角形的内切圆,:与三角形各边都_的圆叫做三角形的_圆.,一个三角形,_,个内切圆,.,4.,内心:,内切圆的圆心是三角形_的交点,叫做三角形的_.,这点,切点,90,90,OM=ON,OP=OP,PN,OPN,HL,相等,这两条切线,PM,PN是O的切线,切点分别是M,N.,PM=PN,OPM=OPN,相切,内切,三条角平分线,内心,只有,1,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做,这点到圆的切线长,.,切线与切线长有什么区分与联系呢？,切线长概念,.,O,P.,A,B,切线和切线长是两个不同的概念：,1.,切线,是一条与圆相切的,直线,；,2.,切线长,是,线段的长,，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点。,是几何图形,是一个数量,画一画：,切线长定理：,1、如何过O外一点P画出O的切线？,2、这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线。,.,O,P.,A,B,A,O,P,两条,B,A,P,O,C,E,D,3.,如图,PA,PB,为,O,的切线，切点分别为,A,，,B.,你能从图,中得出哪些结论？,B,A,P,O,C,E,D,切线长定理中的根本图形如图.,PA,PB,为,O,的切线,切点分别为A，B.,此图形中含有,:,(1)两个等腰三角形：_.,(2)一条特殊的角平分线:_.,(3)三个垂直关系:_.,(4)三对全等的三角形:_.,(5)相等的劣弧:_.,(6)写出图中与OAC相等的角,图中相等的线段：,OAC=_.,_.,PAB,OAB,OP,平分,APB,和,AOB,OAPA,OBPB,OPAB,AOPBOP，AOCBOC，ACPBCP,OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.,o,外接圆圆心,(,外心,),：,三角形三边垂直平分线的交点。,外接圆的半径：,交点到三角形任意一个顶点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,o,内切圆圆心,(,内心,),：,三角形三个内角平分线的交点。,内切圆的半径：,交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,三角形三边,中垂线,的交,点,1.OA=OB=OC,2.外心不愿定在三角形的内部,三角形三条,角平分线,的,交点,1.,到三边的距离相等；,2.,OA,、,OB,、,OC,分别平分,BAC,、,ABC,、,ACB,3.,内心在三角形内部,填一填：,A,B,O,A,B,C,O,5.认真阅读课本第100页的例题2.留意解题格式！,完成课本,100,页练习,.,2.,解：,如图，,设ABC的内心为O，连接OA、OB、OC.,则S,ABC,=S,AOB,+S,BOC,+S,AOC,ABC的内切圆半径为r，,ABC的周长为,l,.,则,S,ABC,=,l,r.,A,O,C,B,D,E,F,r,6.例题，:如图,O是RtABC的内切圆,D,E,F为切点,C是直角,AC=6,BC=8.求O的半径r.,解：连接OE,OF,.,则,OE=OF.,由勾股定理得,AB=10.,O是RtABC的内切圆,CE=CF,AD=AF,BD=BE,设CE的长为x,则,CF=x,BE,=BD=,8-x,AF,=AD=,6-x.,AB=AD+BD=6-x+8-x=14-2x,即,14-2x,=10,解得x=2,即CF=CE=2.,O是RtABC的内切圆,E,F为切点,OFC=OEC=90,又C=90.,四边形OECF为矩形,又,OE=OF.,四边形OECF为,正方形,.,CF等于RtABC的内切圆的半径,即r=2.,变式：直角三角形直角边为a,b，斜边为c，求直角三角形内切圆的半径r.,解：连接OE,OF,.,则,OE=OF.,O是RtABC的内切圆,CE=CF,AD=AF,BD=BE,设CE的长为x,则,CF=x,BE,=BD=,a,-x,AF,=AD=,b,-x.,AB=AD+BD=,(,a,-x,)+(,b,-x,),即,(,a,-x,)+(,b,-x,),=,c,O是RtABC的内切圆,E,F为切点,OFC=OEC=90,又C=90.,四边形OECF为矩形,又,OE=OF.,四边形OECF为,正方形,.,CF等于RtABC的内切圆的半径,c,b,a,解得x=,即CF=CE=.,即,r=.,:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,AC=3,BC=4.则O的半径r=.,1,变式：直角三角形直角边为a,b，斜边为c，求直角三角形内切圆的半径r.,c,b,a,ABC的内切圆半径为r，,ABC的周长为,l,.,则,S,ABC,=,l,r.,l,=a+b+c,S,Rt,ABC,=ab,l,r,=ab,(a+b+c)r=ab,:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,AC=3,BC=4.,则O的半径r=.,1,7.,例题，,一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？,A,B,C,A,B,C,这样,截出的圆的面积是最大吗？,：ABC.,求作：和ABC的各边都相切的圆.,M,N,D,作法：,1.,作,B,和,C,的平分线,BM,和,CN,，,交点为,O.,2.,过点,O,作,OD,BC.,垂足为,D.,3.,以,O,为圆心,，,OD,为半径作圆,O.,O,就是所求的圆,.,解：如图，,自学检测12分钟,1.推断：,(1)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等 ,(2)三角形的外心到三角形各边的距离相等 ,(3)等边三角形的内心和外心重合 ,(4)三角形的内心确定在三角形的内部 ,(5)菱形确定有内切圆 ,(6)矩形确定有内切圆 ),(7)经过一点确定有两条切线.(),(8)切线的长度就是切线长.(),(9)任何三角形都有内切圆.(),(10)等边三角形的内心就是外心.(),2.PA,PB分别切O于点A,B,AOP=70,则APB=_.,3.如图,PA,PB分别切O于点A,B,点E是O上一点,且AEB=60,则P=_.,4.如上题图,假设PA,PB分别切O于点A,B,连接AB,假设PAB=40,则PBA=_.,40,60,40,5.如图，在ABC中，点O是内心，,假设ABC=50，ACB=70，求BOC的度数；,A,B,C,O,假设A=80度，则BOC=；,假设BOC=110度，则A=；,130,40,猜测A和BOC之间有什么数量关系？,外心,120,BOC,=90,0,+,A,6.如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.,(1)假设1=20,求APB的度数.,(2)假设1=30,求证:OP=OD.,(3)在(2)中,假设AD=30,请你求出O的半径.,7.,如图，,AB,、,BC,、,CD,分别与,O,相切于,E,、,F,、,G,三点，且,AB,CD,，,BO,6,c,m,，,CO,8,c,m.,求,BC,的长,.,8.,一枚直径为,d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?,D,45,30,A,B,C,9.如图，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森林公园四周有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000m的笔直大路将两村连通,现测得ABC=45,ACB=30问此大路是否会穿过该森林公园？请通过计算进展说明,不会穿过该森林公园,.,M,N,P,Q,A,10.如图,大路MN和PQ在P处交汇,且QPN=300,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机行使时,四周100米以内会受到噪音的影响,拖拉机的速度为18千米时,那么学校会受到影响吗?假设会,受到影响的时间多长?,B,C,学校会受到影响,受到影响的时间为,24s.,11.如图，某乡镇在进入镇区的道路穿插口的三角地处建筑了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？,A,C,B,古镇区,镇商业区,镇工业区,.,M,E,D,F,12.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.PA=7，P=40.,则 PDE的周长是 ；,DOE=.,14,O,P,A,B,C,E,D,70,13.直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：,1它的外接圆半径是 cm;,内切圆半径是 cm.,2假设移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.,A,B,C,E,D,F,O,2.5,1,解：如以下图，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.,A,B,O,D,C,OB,BC,3,，,半径,r,的取值范围为,0,r,3.,小结5分钟,一、概念、定理：,1,、过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的,切线长,.,2,、,切线长的定理,：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,3.与三角形各边都相切的圆叫做,三角形的内切圆,.一个三角形只有一个内切圆.内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点,叫做,三角形的内心,.,二、方法、规律：,1、在应用切线长定理时，常作出如图的帮助线，结合等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等.,2、三角形的内心时，连接顶点和内心就是角平分线.,三、易错点：,如右图，假设AB=AC，AB与O相切于点B.那么，AC也是O的切线.留意：这是正确的，但不是定理，解答题时不能直接用！,B,A,P,O,C,E,D,四、切线长定理中的根本图形如图.,PA,PB,为,O,的切线,切点分别为A，B.,此图形中含有,:,(1)两个等腰三角形：_.,(2)一条特殊的角平分线:_.,(3)三个垂直关系:_.,(4)三对全等的三角形:_.,(5)相等的劣弧:_.,(6)写出图中与OAC相等的角,图中相等的线段：,OAC=_.,_.,PAB,OAB,OP,平分,APB,和,AOB,OAPA,OBPB,OPAB,AOPBOP，AOCBOC，ACPBCP,OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.,5.Rt,的三边长与其内切圆半径间的关系,c,b,a,6.斜的三边长及面积与其内切圆半径间的关系,A,O,C,B,D,E,F,r,(1),切线和圆只有一个公共点；,(2),切线和圆心的距离等于圆的半径；,(3),切线垂直于过切点的半径；,(4),经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,(5),经过切点垂直于切线的直线必过圆心；,(6),从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,7、切线的六共性质,O,A,P,r,公共点,A,0A=r,0AAP,B,PM,PN是O的切线,切点分别是M,N.,PM=PN,OPM=,OPN,当堂训练10分钟,完成练习册的,80,页练习,.,