单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,.,*,一、独立增量过程,二、泊松过程,三、维纳过程,四、高斯过程（正态过程）,第十章 随机过程及统计描述,.,1,一、独立增量过程二、泊松过程三、维纳过程四、高斯过程（正态过,一、独立增量过程,1,定义,设,X,(,t,),t,0,为一随机过程,对于,0,s,t,称随机变量,X,(,t,)-,X,(,s,),为随机过程在区间,s,t,上的增量,.,若对于任意的正整数,n,及任意的,0,t,0,t,1,t,2,0,），事件,A,发生的次数,N(t+s)-N(t),仅与时间差,s,有关，而与,t,无关。,.,11,计数过程N(t)是独立增量过程如果计数过程在不相重叠的时间间,例：,设为,N(t),为,0,t),时段内某电话交换台收到的呼叫次数，,t=0,，,N(t),的状态空间为,0,1,2,，,具有如下性质：,(1)N(0)=0,，即初始时刻未收到任何呼叫；,(2),在,t,s),这段时间内收到的呼叫次数只与时间间隔,s-t,有关，而与时间起点,t,无关；,(3),在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；,.,12,例：设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数,定义,2:,称计数过程,N,(,t,),t,0,为具有参数,0,的,泊松过程,，若它满足下列条件,(1),N,(0)=0,；,零初值性,(2),N,(t),是,(,平稳,),独立增量过程；,(3),对于任意的,s,t,0,N,(,t+s,)-,N,(,s,),服从参数为,t,的泊松分布,从条件,(3),：泊松过程的均值函数为,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称,为此,过程的强度,。,.,13,定义2:称计数过程N(t),t0为具有参数0的泊,令,N(s,t)=N(t),N(s),0s0,的,泊松过程,若它满足下列条件,(1)N(0)=0,；,零初值性,(2)N(t),是独立增量过程；,(3)N(t),满足,:,定理,:,定义,2,与定义,3,是等价的。,.,14,令N(s,t)=N(t)N(s),0s=0,，,N(t),的状态空间为,0,1,2,，,具有如下性质：,(4),在足够小的时间间隔,t,内,实际上假设了在足够小的时间间隔内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而出现质点数不少于,2,的概率是关于时间间隔的高阶无穷小,这一般是,与实际情况相吻合,的。,.,15,例：设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数,.,16,.16,2,泊松过程数字特征,.,17,2泊松过程数字特征.17,3,泊松过程的一些定理,设,N(t),t0,为泊松过程，,N(t),表示到,t,时刻时质点出现的个数,W,1,，,W,2,，,.,分别表示第一个，第二个，,质点出现的时间,Tn(n1),表示从第,n,1,个质点出现到第,n,个质点出现的时间间隔,.,.,18,3泊松过程的一些定理 设N(t),t0为泊松过程,T,1,T,2,T,k,0 W,1,W,2,W,k-1,W,k,t,通常称,Wn,为第,n,个质点出现的等待时间,Tn,为第,n,个时间间隔,它们都是随机变量。,定理,1.,设,N(t),，,t0,是具有参数,的泊松过程,Tn,n1,2,.,是对应的时间间隔序列,则随机变量序列,Tn,n=1,2,.,为独立的且均服从参数为,的指数分布。,.,19,T1T2Tk0 W1 W,证明：,(1),先确定,T,1,的分布,.,为此首先注意到事件,T,1,t,发生,当且仅当在时间间隔,0,t,内没有质点出现,因而,所以,T,1,具有参数为,的指数分布。,(2),为求,T,2,的分布,先求,T,1,的条件下,T,2,的条件分布,由独立增量性有,.,20,证明：(1)先确定T1的分布.所以,T1具有参数为的指数,所以,可得,T,2,也是一个具有参数为,的指数分布的随机变量且,T,2,独立于,T,1,重复同样的推导可得定理。,下面求等待时间,Wn,的分布，注意到第,n,个质点出现在时间,t,或之前的条件是,当且仅当到时间,t,已出现的质点数至少是,n,，,即,上式对,t,求导，得,W,n,的概率密度是,.,21,所以,可得T2也是一个具有参数为的指数分布的随机变,定理,2.,设,Wn,n=1,2,是与泊松过程,N(t),t0,对应的一等待时间序列，则,Wn,服从参数为,n,与,的,分布，其概率密度为,定理,3.,如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为,的泊松过程。,该定理告诉我们,确定一个过程是不是,泊松过程只要用统计方法检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。,注：泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具，在技术领域内它又是构造一类重要噪声,(,散粒噪声,),的基础,。,.,22,定理2.设Wn,n=1,2,是与泊松过程N(t),例,.,设,X(t),是强度为,的泊松过程，定义,Y,(,t,)=,X,(,t+L,)-,X,(,t,),其中,L,0,为常数，求,Y,(t),R,Y,(,s,t,).,解：,Y,(t)=,E,Y,(,t,)=,E,X(t+L)-X(t),=,(t+L)-,t=,L,；,R,Y,(s,t)=C,Y,(s,t)+,Y,(s),Y,(t),对任意,0s0,的位移的横坐标,(,同样也可以讨论纵坐标,),且设,W,(0)=0,根据爱因斯坦,1905,年提出的理论,微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果,.,于是,粒子在时段,(,s,t,上的位移可以看作是许多微小位移的代数和,.,则,W,(,t,),-,W,(,s,),服从正态分布,.,三、维纳过程,又称布朗运动,.,25,引言 三、维纳过程 又称布朗运动.25,1,维纳过程的定义,给定过程,W(t),t0,，如果它满足,(1),具有,平稳,的,独立增量,；,(2),对任意的,ts0,，,W(t)-W(s),服从,正态分布,N(0,2,(t-s),；,(3)W(0)=0.,三、维纳过程,又称布朗运动,则称此过程为,维纳过程,，下图展示了它的一条样本曲线。,维纳过程不只是布朗运动的数学模型,电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程。,.,26,三、维纳过程 又称布朗运动 则称此过程为维纳过程，下,2,维纳过程的性质,(1).,维纳过程,W(t),，,t0,为正态过程,(,每一个有限维分布均为正态分布,),。,证明,:,对于任意正整数,n,和任意时刻,t,1,t,2,tn(0t,1,t,2,tn),以及任意实数,u,1,，,u,2,，,，,u,n,，记,.,27,2维纳过程的性质.27,它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知,(W(t,1,),，,W(t,2,),，,，,W(tn),服从,n,维正态分布，因此,W(t),为正态过程。,(2).,维纳过程增量的分布只与时间差有关,所以它是齐次的独立增量过程,.,它又是正态过程,.,其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定,.,维纳过程的均值函数、自协差函数、自相关函数分别为,方差随时间区间的长度呈线性增加。,.,28,它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正,四 高斯过程（正态过程）,一、定义：,设,X(t),为随机过程，如果对任意的正整数,n,及任意,t,1,t,2,tn,T,，,n,维随机变量,(X(t,1,),X(t,2,),X(tn),服从,n,维正态分布，则称,X(t),为,正态过程,。,正态过程是二阶矩过程。,记其均值函数为,X,(t),协方差函数为,C,X,(s,t),。,二、正态过程的性质：,对任意的正整数,n,及任意,t,1,t,2,tn,T,，,n,维随机变量,(X(t,1,),X(t,2,),X(tn),的,分布由其相应的均值及协方差矩阵完全确定,，所以,X,(t),和,C,X,(s,t),完全确定了,X(t),的有限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：,.,29,四 高斯过程（正态过程）二、正态过程的性质：.,1,X(t),t,T,为正态过程，其统计特性由,X,(t),和,C,X,(s,t),确定。,反之，可以证明，,T=0,+,给定,(t),和非负二元函数,C(s,t),，则存在正态过程,X(t),，使,X,(t)=(t),，,C,X,(s,t)=C(s,t),。,定义,：设随机过程,X(t),t,T,，且对任意正整数,n,2,，任意,n,个不同的,t,1,t,2,tn,T,，随机变量,X(t,1,),X(t,2,),X(tn),相互独立，则称此过程为,独立随机过程,。,2,正态过程,X(t),t,T,为独立随机过程,正态过程，当任意,s,t,st,时，协方差函数,C,X,(s,t)=0.,.,30,1X(t),tT为正态过程，其统计特性由X(t)和,证明：,“,”,n,2,因为,X(t,1,),X(t,2,),X(tn),相互独立的正态随机变量，而正态随机变量,X(t,1,),X(t,2,),X(tn),相互独立,其两两互不相关，即：,C,X,(s,t)=0,st.,“,”,因,(X(t,1,),X(t,2,),X(tn),为,n,维正态随机过程，于是,X(t,1,),X(t,2,),X(tn),为正态随机变量，又,C,X,(s,t)=0,st,，所以,X(t,1,),X(t,2,),X(tn),相互独立。,3,X(t),为正态过程,它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是正态随机变量。,事实上，由正态的性质，,n,维正态随机变量的充要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量，显然成立。,.,31,证明：“”“”因(X(t1),X(t2),X(tn),4,X(t),为正态过程，则,X(t),是严平稳过程,X(t),是宽平稳过程。,证明：,“,”,因高斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质，显然成立。,“,”,由已知：,X,(t)=,X,，,Rx(t,t+,),只与,有关。,由严平稳过程定义，对任意的正整数,n,及任意,t,1,t,2,tn,T,t,1,+h,t,2,+h,tn+h,T,要证：（,X(t,1,),X(t,2,),X(t,n,),）与（,X(t,1,+h),X(t,2,+h),X(t,n,+h),）同分布（*）。,而正态过程的分布由,X,及,Rx(s,t),决定，,X,为常数。,即,(*),式成立。,.,32,4X(t)为正态过程，则X(t)是严平稳过程,