单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章,能量均分原理与麦克斯韦速率分布,1,2-3,.,能量按自由度均分原理,由分子平均平动动能与 温度的关系,即在,x,方向上平均分配了,kT,/,2,的能量。,2,由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在,y,、,z,方向上也都平均分配 了,kT,/,2,的能量。,气体分子在每个运动方向上分配了,kT,/,2,的能量，,这种能量在各方向上均匀分布的情况，称为能量按,自由度,均分原理。,注意：上述计算中我们假定分子是刚性小球而得出来的。,1、什么是自由度,自由度是描写物体运动时所需的独立坐标的个数。,3,例如：物体做一维直线运动，只需一个坐标，那么自由度数为1。,所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的,最少的坐标数,。,轮船在海平面上行驶，要描写轮船的位置至少需要两维坐标，即经度和纬度，那么自由度为 2。,4,飞机在天空中飞翔，要描写飞机的空间位置至少需要三维坐标，那么自由度为 3。,问题1、,质点以半径,r,做圆周运动自由度是多少？,问题2、,但对于火车在轨道上行驶时自由度是多少呢？,5,1.一个质点，描写它的空间位置，需要 3 个平移动自由度，,2,.,两个刚性质点,描写其质心位置需,3,个平动自由度，,t=3,描写其取向还,需,3,个转动自由度，,、,但是由于,、,不是独立的受到,的限制，,转动自由度只有两个，,r=2,6,3,.三个或三个以上的刚性质点,需,3,个平动自由度和,3,个转动自由度。,平动自由度,t=3,转动自由度,r=3,总自由度,i=t+r=6,对于理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，只有平动自由度、转动自由度。,2,.两个刚性质点总自由度数,7,平动动能,转动动能,在气体分子的运动中，由于分子间的剧烈碰撞几亿次/秒，使平动动能与转动动能不断转换，,使平动动能与转动动能到达相同，即每个转动自由度上也平均分配了kT/2能量。,由此可知，分子有,i,个自由度，其平均动能就有,i,份,kT/,2,的能量,。,分子平均动能,2、能量按自由度均分,8,1,.单原子分子气体,例如：氦气He、氖气Ne、氩气Ar等为单原子分子气体。其模型可用一个质点来代替。,平动自由度,t=3,转动自由度,r=0,总自由度,i=t+r=3+0=3,2,.双原子分子气体,例如：氢气H2、氧气O2、氮气N2等为双原子分子气体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。,平动自由度,t=3,转动自由度,r=2,总自由度,i=t+r=3+2=5,9,3,.多原子分子气体,例如：二氧化碳气体CO2、水蒸气H2O、甲烷气体CH4等为多原子分子气体。其模型可用多个刚性质点来代替。,平动自由度,t=3,转动自由度,r=3,总自由度,i=t+r=3+3=6,10,3、气体分子的内能,E,=,分子的动能+,对于理想气体而言，,分子间的作用力忽略不计,，分子与分子间的势能为,0,。,由于只考虑常温状态，分子内的原子间的距离可认为不变，那么分子内原子与原子间的势能也可不计。,分子的平均能量为,分子与分子间的势能,+分子中原子与原子间的势能,E,=,分子平均动能,11,4、理想气体的内能,1,.分子的平均动能为:,2,.,如果系统有,N,个气体分子,:,3,.质量为,m,的气体能量为：,气体内能,12,由此可得理想气体的内能为：,单原子分子,双原子分子,多原子分子,温度发生改变,T=T,2,T,1,时，理想气体的内能变化为：,13,例1：在 273k，1.0102大气压时，容器内装有双原子分子理想气体，其密度为=1.24 102kg/m3。求1方均根速率，2气体的摩尔质量,(3)平均平动动能和转动动能是多少？(4)0.3mol的该气体内能是多少？,解：由,再由,得,14,平均平动动能和转动动能,0.3,mol,的该气体内能为,15,概率：用于表示偶然事件发生的频率。,掷骰子出现任一点数的概率为 1/6，分布为,1 2 3 4 5 6,概率,点数,考试成绩分布,20 40 60 80 100,概率,成绩,16,单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。,按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。,1、速率分布函数,1,.将速率从 0 按等间隔分割成很多相等的速率区间。,2-4、麦克斯韦速率分布函数,17,2,.,总分子数为,N,，,例如速率间隔取,100,m/s,18,任一速率区间内分子出现的概率为,那么可了解分子按速率分布的情况。,19,3,.概率,与,v,有关，不同,v,附近概率不同。,有关，速率间隔大概率大。,20,f,(,v,),为速率分布函数,4,.,速率间隔很小，该区间内分,子数为,dN,，,在该速率区间内分子的概率,写成等式,21,5,.速率分布函数的物理意义,表示在速率,v,附近，单位速率区间内分子出现的概率，即概率密度。,或表示在速率,v,附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。,麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的速率分布函数。,22,1860,年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律：,1,.,f,(,v,),v,曲线,讨论,23,2,.在速率为,v,速率区间为,dv,内分子出现的概率,24,3,.在,f,(,v,),v,曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率。,25,4,.在,f,(,v,),v,整个曲线下的面积为,1,-,归一化条件。,分子在整个速率区间内出现的概率为,1,。,26,例2：试说明以下各式的物理意义。,答：,由速率分布函数可知,表示在速率,v,附近，,dv,速率区间内分子出现的概率。,表示在速率,v,附近，,dv,速率区间内分子的个数。,表示在速率,v,1,v,2,速率区间内，分子出现的概率。,27,三、麦克斯韦速率分布律的应用,利用麦克斯韦速率分布率可计算最可几速率、方均根速率、平均速率等物理量。,1,.最可几速率,v,P,最可几速率表示在该速率下,分子出现的概率最大,。,表示在速率,v,1,v,2,速率区间内，分子出现的个数。,28,气体分子各种运动速率都有，在哪个速率下出现的,概率最大,，即求,f,(,v,),的极大值对应的速率。,将,f,(,v,),对,v,求导，,令一次导数为,0,最可几速率,29,讨论,1,.,v,P,与温度,T,的关系,曲线的峰值右移,由于曲线下面积为,1,不变，所以峰值降低。,由,和,30,曲线的峰值左移,由于曲线下面积为,1,不变，所以峰值升高。,2,.,v,P,与,分子质量,m,0,的关系,31,例：,求空气分子在,27,C,时的最可几速率,v,P,解：,由公式,32,2,.平均速率,气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？,假设：速度为,v,1,的分子有 个，,速度为,v,2,的分子有 个，,那么平均速率为：,33,计算一个与速率有关的物理量,g,(,v,),的统计平均值的公式：,利用此公式可计算分子的方均根速率、分子的平均平动动能等。,34,利用积分公式,设,35,上下同乘,N,A,有,平均速率,例：,求空气分子在,27,C,时的平均速率。,解：,由公式,36,4.三种速率的比较,37,四、麦克斯韦速率分布律的验证,麦克斯韦在,1860,年从理论上预言了理想气体的速率分布律。,60,年后，也就是,1920,年斯特恩通过实验验证了这一规律，后来拉美尔将实验进一步完善。,38,20,世纪,20,年代以后，许多实验成功地证实了麦克斯韦速率分布规律。下面的实验装置，介绍实验原理。,动画,39,