单击此处编辑母版标题样式,解,:,1,.,设,2,.,设向量组,问,:,向量,可以由向量,写出其表达式；,线性表示,?,若可以，,解：,设,解线性方程组,得,向量,可以由向量,则有,:,解方程组得：,线性表示,3.2,线性相关与线性无关,一,.,判断下列向量组的线性相关性,(1),解,:,由于,与,对应分量不成比例,所以,与,线性无关,.,(2),解,:,由于,向量组中含有零向量,所以向量组线性相关,(3),解,:,所以,向量组线性无关,.,(4),解,:,即有,也即有,由于齐次线性方程组的系数行列式,齐次线性方程组有非零解,由于,方法,2,:,所以,线性相关,.,只有在向量个数与向量维数相同时才可用此法,注意,:,(5),此时方法,2,简单,.,因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性,解,:,相关。,二,.,填空题,(1),已知向量组,线性相关,则,k,=_.,解,:,则,有,:,即,有,:,2,即,k,=,2,时,(2),设向量组,线性无关,则,a,b,c,必满足关系式,_.,a,b,c,0,解,:,要使,线性无关,则有,所以,a,b,c,需满足,a,b,c,0,.,n,维单位向量组,(3),都可由,向量组,线性表示,则,r,_,n,.,解,:,因为,n,维单位向量组,线性无关,且每个向量都能由向量组,线性表示,由课本,72,页推论,1,知,:,三,.,选择题,线性无关的充分必要条件是,().,中必有两个向量的分量对应,(1),向量组,(,A,),向量组,不成比例,;,(,B,),向量组,中不含零向量,;,(,C,),向量组,中任意一个向量都不能由其,余,n,-,1,个,向量线性表示,;,(,D,),存在全为零的数,使,成立,.,解,:,对于选项,(,A,),即使向量组中有两个向量对应分量,C,不成比例,则该向量组仍,线性相关,.,故选项,(,A,),不正确,.,对于选项,(,B,),不含零向量的,向量组仍然可能是线性,相关的,.,故选项,(,B,),不正确,.,但若向量组中含有零向量,对于选项,(,D,),应当是“只有当,全为零时,等式,才成立,.”,事实上,等式,在,均为零时显,然成立,.,但这不能保证,线性无关,.,故选项,(,D,),也不正确,.,由排除法知选项,(,C,),正确,.,(2),设,其中,则有,().,(,A,),向量组,是任意实数,总线性相关,;,(,B,),向量组,总线性相关,;,(,C,),向量组,总线性无关,;,(,D,),向量组,总线性无关,.,解,:,先考察,4,个向量的情形,.,由于,C,考虑到,D,的值不确定,故,(,B,),(,D,),不正确,.,的任意性,的线性相关性也不确定,因此,再考察,3,个向量,由于,不论,的情形,:,为何值,都有,故,线性无关,因此选项,(C),正确,.,四,.,若已知向量组,证明,线性无关,线性相关,.,由于,向量组,证,:,1,、,线性无关,则,线性无关,.,2,、,线性无关,.,(1),四,.,若已知向量组,证明,线性无关,线性无关,.,由于,向量组,证,:,1,、,线性无关,线性相关,.,2,、,线性相关,.,(2),令,3,、,已知向量组,问,线性无关,是否线性无关？,解,:,向量组,考察向量方程,由于,向量组,线性无关,.,3,、,已知向量组,问,线性无关,是否线性无关？,当,m,为偶数时，方程组有非零解，则向量组线性相关,解,:,向量组,当,m,为奇数时，方程组有零解，则向量组线性无关。,五,.,设有向量组,问：向量,能否由向量组,唯一线性表示,?,解,:,由于向量组,线性相关,(,4,个,3,维向量,则向量,只要向量组,线性无关,必,线性相关,),唯一线性表示,.,必可由向量组,线性无关,.,唯一,线性表示,.,由于,所以向量组,因此,向量,能由,向量组,六,.,设已知向量组,向量组,线性相关,线性表示？证明你的结论。,解,:,（,1,）,，且表达式唯一。,（,2,）,(1),根据向量组线性相关性的性质可得：,线性无关，问,能否由,能否由,线性表示？证明你的结论。,线性表示,能由,因为,线性无关，,则,线性无关，,线性相关,又因为,线性表示,能由,六,.,设已知向量组,向量组,线性相关,线性表示？证明你的结论。,用反证法证明：,解,:,（,1,）,即：,（,2,）,(2),代入上式得：,线性无关，问,能否由,能否由,线性表示？证明你的结论。,不能由,线性表示,能由,线性表示,设,由（,1,），可设,即,能由,线性表示,线性相关,.,与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立,.,一,.,填空题,1,、若,解,:,则,向量组,由于,所以向量组,是线性,_.,线性无关,.,3.3,向量组的秩,此向量组的部分组,仍线性无关,.,应填,:,无关,.,无关,2,、设向量组,(,),的秩为,向量组,(,),的秩为,相等,解,:,因为二向量组等价,则它们的秩相等,.,应填,:,相等或,且,(),(),，,二,.,选择题,1,、,若向量组,是向量组,的极大,线性无关组,则下列论断不正确的是,().,解,:,由于向量组,是向量组,的极大线性无关组,显然向量组,线性无关,.,而向量组,线性相关,故,B,此外,由排除法知选项,(,B,),错误,.,故应选,(,B,).,选项,(,A,),正确,.,选项,(,C,),正确,.,选项,(,D,),也正确,.,显然,2,、若向量组,的秩,r,，则（）,B,向量组,向量组,线性无关；,线性相关；,存在一个向量,可以由其余向量,线性表示；,任一向量都不能由其余向量线性,表示；,当向量组的秩等于向量个数时，向量组线性无关；,3,、若向量组,都是向,量组,则有,().,解,:,同一向量组的极大线性无关组所含向量的个,数,是相同的,.,故选项,(,C,),正确,.,C,的极大无关组,解,:,根据向量组的秩与向量个数的关系：,当向量组的秩小于向量个数时，向量组线性相关；,选项,(,B,),正确,.,三,.,求下列向量组的秩,(,必须有解题过程,):,解,:,解,:,当,时，,当,时，,当,时，,四,.,求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余,向量用此极大线性无关组线性表示,.,解,:,无关组为,向量组的极大线性,且有,:,2,、,解,:,向量组的极大线性无关组为：,且有,:,五,.,已知向量组,(1),求,(2),求向量组的一个极大线性无关组，并将其余,解,:,的秩为,3,的向量用极大线性无关组线性表示,。,且,当,时，将矩阵的第,3,行加到第四行可将第四,行化为零行，则向量组的极大线性无关组为,六,.,设,n,维基本单位向量组,可由,n,维,向量组,线性表示,证明向量组,线性无关,.,证,:,因,n,维基本单位向量组,线性表示,而,n,维向量组,等价,.,可由,n,维,向量组,由于等价的向量组有相同,可由,n,维基本单位向量组线性表示,因此,向量组,与,向量组,的秩,而,所以,因此向量组,线性无关,.,证毕,.,七,.,设,证明,:,，证明：,线性无关,考虑向量方程,：,即：,线性无关,线性无关,*八,.,设,(,),若各向量组的秩分别为,:,(,),(,),R,(),=,R,()=,3,R,()=,4,证明向量组,证,:,因为向量组,的秩为,3,而向量组,中含,3,个向量,所以向量组,线性无关,.,同理,因为向量组,的秩为,4,而向量组,中含,4,个向量,所以向量组,线性无关,.,又因为向量组,的秩为,3,但向量组,中含,4,个向量,故向量组,线性相关,.,因此向量,可由向量组,线性,表示,.,即有,向量方程,由于向量组,线性无关,.,显然向量组,仍线性无关,.,因此向量组,的秩为,4,.,一,.,设,为什么,?,解,:,3.4,向量空间,是向量空间,不是向量空间,.,这是因为,:,则有,而,若,对数乘运算封闭,.,这表明,而,又,是向量空间,.,所以,又,若,则有,对加法运算封闭,.,这表明,所以,但,显然,不是向量空间,.,因此,而,这表明,对数乘运算不封闭,.,二、,1.,向量,下的坐标是（,),解,:,在基,2.,已知 的两个基为：,求由基 到基 的过渡矩阵。,解,:,设由基 到基 的过渡矩阵为,C,则,四,.,试证由,生成的向量空间就是,并求,一组标准正交基,.,证,:,先证,线性无关,.,由于,所以,线性无关,.,令,都可用,即有,再证任意,3,维向量,则有,所以,这表明任意,3,维向量都可用,因此,3,维向量组,取值唯一,.,唯一线性表示,.,由于,线性表示,.,生成的空间即为,证毕,.,以下求,的一组标准正交基,.,则,令,再将,单位化,.,则,为,的一组标准正交基,.,(,答案不唯一,),