,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章 重积分,主要内容,本章介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、计算法以及应用.,关键词 重积分,（,double integral）,；计算法(,calculative method),；应用(,application),8.1,二重积分及其计算,8.2,三重积分及其计算,8.3,重积分的换元法,8.4,重积分的应用,8.1.1,二重积分的概念,8.1,二重积分及其计算,8.1.3,二重积分在直角坐标系下的计算,8.1.2,二重积分的基本性质,8.1.1,二重积分的概念,1.,曲顶柱体的体积,设有一立体，它的底是,面上的闭区域,D,，,它的侧面是以,D,的边界曲线为准线而母线平行于,z,轴的柱面，它的顶是曲面,且在,D,上连续.此立体称作,曲顶柱体.,求曲顶柱体的体积采用“,分割、求和、取极限,”的方法.其步骤为,用若干个小平,顶柱体体积之,和近似表示曲,顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似,看作均匀薄片，,所有小块质量之和,近似等于薄片总质量,定义,8.1,设,),(,y,x,f,是有界闭区域,D,上的有界,函数，,将闭区域,D,任意分成,n,个小闭区域,1,s,D,，,L,2,s,D,，,n,s,D,，其中,i,s,D,表示第,i,个小闭区域，,也表示它的面积，在每个,i,s,D,上任取一点,),(,i,i,h,x,，,作乘积,),(,i,i,f,h,x,i,s,D,，,),2,1,(,n,i,L,=,，,并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值,l,趋近于零,时，这和式的极限存在，则称此极限为函数,),(,y,x,f,在闭区域,D,上的,二重积分,记为,即,积分号,被积函数,积分区域,积分和,面积元素,积分变量,被积表达式,二重积分定义的几点说明：,(2)用平行于坐标轴的直线网来划分区域,D，,则,故二重积分可写为,面积元素为,二重积分的几何意义,如果被积函数是大于零的，二重积分是柱体的体积.,如果被积函数是小于零的，二重积分是柱体的体积的负值,如果被积函数是时正时负的,二重积分是所有柱体体积的代数和.,曲顶柱体的体积,平面薄片的质量,性质,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,当 为常数时,，,对积分区域具有可加性,8.1.2,二重积分的基本性质,性质,性质,若 为,D,的面积，,若在,D,上,特殊地，因为,则有,于是,性质,设,M,、,m,分别是,),(,y,x,f,在闭区域,D,上的,最大值和最小值，,A,D,的面积，则,为,证明,由性质,4,及性质,1,和性质,3,，有,设函数,),(,y,x,f,在闭区域,D,上连续，,A,为,D,的面积，则在,D,上至少存在一点,),(,h,x,使得,性质6,证明,由性质,5,，有,再根据闭区域上连续函数的介值定理,练习1,判断,练习2,估计积分,的值，其中,的符号,.,是,8.1.3,二重积分在直角坐标系下的计算,其中函数 、在区间 上连续.,假定,，,积分区域为,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法计算。,表示以闭区域,D,为底，,z,=,f,(,x,y,),为顶,的曲顶柱体的体积。,过,x,作平,行于,yoz,面的平面截曲顶,柱体,。,得一个以区间,曲线,z,=,f,(,x,y,),为曲边的曲边梯形,。,为底、,a,b,故,其面积,从而得曲顶柱体的,体积为,简记,a,b,如果积分区域为：,上式为先,上式为先,的二次积分,，,积分区间,后,的二次积分，积分区间,后,X-,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为,Y-,型区域的特点,：,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.记为,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,D,3,D,2,D,1,O,y,x,如果积分区域,既是,X-,型的，又是,Y-,型的，则,特别,则有公式,计算,的一般步骤：,的草图，观察是,1 先画出积分区域,或,或是混合型区域，并确定其边界函数表达式,.,2.根据区域的类型和被积函数的特点，选择积,分次序.,不妨假设积分区域是,先对,积分，而后对,积分.故,的积分区间是,为确定,的积分限，自,内任取一点,作垂直于,轴的直线交区域,的边界于两点（自下向上）.,这两个交点的纵坐标（与,有关）分别作为积分,变量,的积分下限和积分上限.,如果是区域,，可以类似处理,。,计算二重积分,的简算法,（1）,若有界闭区域,上的连续函数,是关于,（或者,）的奇函数，而区域,关于,轴（或者,轴）对称，则,.的上）半区域.,（,2,）若有界闭区域,上的连续函数,是关于,（或者,）的偶函数，而区域,关于,轴（或者,轴）对称，则,是区域,（或,的,右,（,3,）若有界闭区域,关于直线,对称，,上的连续函数，则,是,证明 只对（1）来证明.设,的奇函数，即,是关于,由题意不妨设,对第一项积分：令变换,，则,代入原式，知,例1,计算二重积分,.其中,是由直,线,与,轴所围成,的区域：,解 积分区域,如图所示.,看成,X,-,型区域，即,区域,，于是,看成,Y,-,型区域，即,也可将区域,，于是,(2),按先,的次序积分,，,后,原式,也可按先,后,的次序，,原式,计算起来比较麻烦。,例2,计算,解,这个二次积分的次序是先,后,，但是,的原函数不能用,的初等函数表达，于是,要先交换积分次序.此时积分区域,为,所以,原式,所围成。,例3 计算,其中,是由,解 积分区域如图所示，按先,后,的次序，则,原式,但若按先,后,的次序，,原式,例4,计算,.其中,是,由,及,轴所围成.,解 积分区域如图所示，则,（1）,（2,）,选用,（2）,式计算，于是,考虑到,的原函数不能用初等函数表达，应,D,顾被积函数的原函数是否易求，有时甚至需要交,说明：对区域,选择积分次序时，要同时兼,换原来的积分次序。,例5 若区域,是由直线,及,轴所围成的区域，计算,解 显然区域,关于,轴是对称的，被积函数,是关于,的奇函数，故,例6 求以,为曲顶，矩形区域,为底面的曲顶柱体,的体积。,解 由二重积分几何意义知曲顶柱体的体积,练习,5,求椭圆抛物面,与平面,所围立体体积。,练习,3,计算,其中,是由直,和,所围成的闭区域。,练习,4,计算,所围成的闭区域。,其中,是由抛物线,线,及直线,解,当,练习1,判断,故,又当,时,于是,的符号,.,时，,练习2,估计积分,的值，其中,D,是,解 在,的最小值为,最大值为,而,的面积为,于是,内，,解 积分区域,D,既是,X,-,型，又是,Y,-,型的，化为先,y,后,x,的积分.,练习,3,计算,其中,是由直,和,所围成的闭区域。,线,化为先,可见关于,的积分计算比较麻烦.,的积分.,后,解 积分区域 既是 型，又是 型的，化为先 后 的积分.,练习,4,计算,所围成的闭区域。,其中,是由抛物线,及直线,若化为先 后 的积分.需将 分成 和 .,练习,5,求椭圆抛物面,与平面,所围立体体积.,解 由于图形对称于,面与,面，所以,第一卦限内的体积是所求体积的,，即,于是,