*,*,第四周,第四周,*,*,第四周,*,其次章 随机变量及其分布,2.1,随机变量,2.2,离散型随机变量及其分布律,2.3,随机变量的分布函数,2.4,连续型随机变量及其分布,2.5,随机变量函数的分布,1,*,常用的连续型分布,2.4,连续型随机变量的,密度函数,一、均匀分布,均匀分布是连续型分布中最简洁的一种分布，它是用来描述一个随机变量在一个区间上等可能地取每一个值的分布规律。,*,向区间a,b上均匀地投掷一随机点，X为落点坐标,a,a,a,b,b,b,*,a,0,b x,f(x),1/(b,a,),a,0 b x,1,F(x),向区间a，b上均匀地投掷一随机点，以表示随机点的落点坐标，为均匀分布。,4,定义 假设随机变量 X 的密度函数为,则称随机变量 X 听从区间 a，b 上的均匀分布，记作 XUa，b。,其密度函数的图形为：,假设 随机变量X Ua，b，则它的分布函数图形为：,*,注：公共汽车的到达时刻不是随机变量,。,5,例,设一个汽车站上，某路公共汽车每五分钟有一辆车到达，,设乘客在五分钟内的任意时刻到达都是,等可能,的。计算在候车,的十位乘客中，只有一个,等车,时间,超过,4,分钟的概率,.,解,记,X,=,每位乘客的到达时刻，,记,Y,=,在候车的十位乘客中，“,等车时间超过,4,分钟,”的人数。,则,X,U0,，,5,，,则,Y,B,(10,，,p,),，,于是，在候车的十位乘客中，只有一个,等车时间超过,4,分钟,的概率为：,*,6,另解：,*,假设随机变量 X的密度函数为,则称,X,服从参数为,的指数分布,的几何图形如图,:,注：,指数分布常用来描述对某,一大事发生的等待时间。例如：,电子元件的寿命，生物的寿命，的通话时间，,机器的修理时间等。,二、指数分布,7,1,x,F,(,x,),0,x,f,(,x,),0,*,8,*,例,某元件的寿命,服从,指数分布,其参数,求,3,个这样的元件使用,1000,小时,至,少已有一个损坏的概率,.,解,由题设知,的,分布函数为,由此得到,各元件的寿命是否超过,1000,小时是独立的,用,表示三个元件中使用,1000,小时损坏的元件数,9,*,例,某元件的寿命,服从指数分布,其参数,求,3,个这样的元件使用,1000,小时,至,少已有一个损坏的概率,.,解,各元件的寿命是否超过,1000,小时是独立的,用,表示三个元件中使用,1000,小时损坏的元件数,所求概率为,则,10,*,指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性”.具体表达如下：,证,值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有,“,无记忆性,”,的,连续型分布,.,11,2.5,正态分布,假设X 的 密度 函数为,则称 X 听从参数为 ,2 的正态分布,记作,X,N,(,2,),为常数，,亦称高斯,(,Gauss),分布,*,12,f,(,x,),的两个参数：,位置参数,即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x),的外形不变化，只是位置不同,*,13,几何意义,大小与曲线陡峭程度成反比,数据意义,大小与数据分散程度成正比,外形参数,假设 1 2 则,*,14,*,15,*,设,X,X,的分布函数,是,正态分布 的,分布函数,16,*,标准正态分布,标准正态分布的分布函数值表P311,17,*,证：,Z,的分布函数为,定理,1,18,*,（）若,N,(0,1),假设 XN(0,1),则,19,正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的缘由。,实践方面的缘由是，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重等等都近似听从正态分布。,一般来说，假设影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起打算性作用，且这些影响是可以叠加的，则这个随机变量听从正态分布。,从理论方面来说，正态分布有很多良好的性质，如正态分布可以导出一些其它分布，而某些分布如二项分布、泊松分布等在肯定的条件下可用正态分布来近似。,*,.,.,.,21,*,类似计算可得，,=,0.,9974,例,7,解：,求,P,(|,X,-,|,k,),k,=1,2,3,.,P,(|,X,-,|,3,),=,P,(,-,3,X,0,时，,*,28,2当a 0 时，,一般地，有以下定理：,*,29,定理,.,证明,:,*,30,*,31,*,解：,例,4,设随机变量 服从正态分布，证明,也,服从正态分布。,32,*,此例说明：正态变量的线性函数仍是正态变量。,33,*,例,5,34,*,例,6,35,例9 X N(0,1),Y=X 2,求 f Y(y),解：Y=X 2 不是单调函数，从分布动身：,当,y,0,时，,*,36,X,N,(0,1),结论：,假设 X N(0,1),则Y=X 2,称Y听从参数为1的卡方分布,*,37,