单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.6,位置、动量和平移,1,）连续谱：展开、归一化；,2,）位置本征矢和位置测量,3,）平移：操作、算符,4,）动量：平移生成元,/,坐标动量对易关系,算符函数以其泰勒级数展开理解,动量本征矢是平移算符的本征矢,5,）正则对易关系,狄拉克规则,1.7,坐标与动量空间的波函数,一、坐标空间波函数,以坐标本征矢 为基,得,:,展开系数 的物理解释：是在,x,处,dx,范围内找到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。,内积 就是通常所指的态 的波函数：,因,在 找到态 的几率振幅 常被称为 与 的交叠积分。,一般态 以算符本征态展开在坐标表象中可理解为,其中 是,A,的本征值为,a,的本征波函数。,（这种展开在理论和计算中广泛使用）,二、算符在坐标空间的表示,是,x,和,x,的函数。若,A,是坐标算符的函数，,则,于是,注：上面的记号中，在方程左边的,A,是算符，而右边是数,三、坐标空间中的动量算符,1.,由,得 或,即,p,在坐标表象的矩阵元为,且,可见动量算符在坐标表象的表示不是假定，而是可从动量算符的基本性质中推导出来的,类似可证,；,四、动量空间的波函数,，展开系数 具有与 类似的几率解释，即 是在 处 范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动量为 附近 范围内的几率。常被称为动量空间波函数：若 归一，则,五、,x,表象与,p,表象的联系,由,x-,表象到,p-,表象的变换函数 而联系,由,得 是动量本征态在,x-,表象的波函数。,可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求解 方程。除相位因子处，归一常数,c,可定出为 ，即,因 ，可知坐标空间波函数与动量空间波函数的关系为，,类似有与前面的关系互为付氏变换,六,(1/2),、高斯波包：,即波矢为,k,的平面波受中心位于原点的高斯轮廓调制而得的函数，粒子出现于距原点大于,d,处的几率以高斯形式衰减。,高斯波包是满足最小测不准原理的波包,:,；,x,的色散为,类似可求得,；,六,(2/2),、高斯波包：,动量空间的高斯波包为,即动量空间的高斯波包波函数也具有高斯函数的形式，只是展开与坐标空间的展宽成反比。在,x,空间的展宽越大则在,p,空间展宽越小,反之亦然。,在,x,空间无限延展的平面波具有确定的动量值，而具有确定位置的态则在,p,空间是无限延展的平面波。,七、对三维的推广,上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要的变动包括：,第二章：,量子动力学,(,物理状态和观测量随时间的变化,),2.1,时间演化和 方程,时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。,相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理,一、时间演化算符,二、时间演化算符的性质,1.(,时间的,),连续性,2.,幺正性（几率守恒）,即对 ，有,3.,结合性：,三、时间演化算符的表达,与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算符 ：,算符的连续性、幺正性和组合性可由,且 为厄米算符来满足。,考虑到 的量纲与频率相同和经典力学中,Hamiltonian,是时间演化的生成元，可合理地将 写为 ，,即,这里的 与坐标平移算子中的 相同，否则将推不出量子力学的经典极限即牛顿运动定律,四、薛定谔方程,1.,时间演化算符的薛定谔方程,由,(t-t,0,),不必为无穷小,),有,即,2.,态矢时间演化的薛定谔方程,对态矢 ，有,或,当然，若知 ，并知其对初态的作用，则无需解此方程。,五、时间演化算符的形式解,H,与,t,无关,，如稳恒磁场与磁矩的相互作用,此时容易解得,2.,，但,，如方向恒定的交变磁场。则：,容易验证该 满足 方程：,3.,不同时的,H,不对易，,如磁场方向随时间而变的自旋磁场作用,此时的解为,在这一章中我们主要讨论第一种情形。,六、能量本征矢,知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作用于一态矢才能求出态矢的时间变化。如果选用能量本征态矢为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。,；,有 ；,即,展开系数的模不变，但相位变化了。由于不同分量的相对相位发生变化，与 可以是完全不同的。,对 ，则 ，态保持为,H,与,A,的共同本征态。,六、能量本征矢（续）,由上讨论可见量子力学的基本任务是找出与,H,对易的观测量及其本征态。将初态由这个观测量的本征态展开，便可求出态随时间的变化。,对有简并情形，我们需要找出一组完整的相互对易且与,H,对易的算符,并用它们的共同本征态为基。该基一般用组合指标 表征，,这样,将任意态 以 展开将可求得其时间的演化了。,七、期望值的时间演化,1.,由于：,即任何观测量对能量本征态的期望值都不随时间变化。因此,能量本征态被称为定态,。,2.,对一般态 ：,可见期望值一般是随时间变化的。,3.,对 也是,B,的本征态之特例（,B,与,H,对易,），则,不随时间变化,（与,H,对易的观测量是运动的常数）,八、自旋进动,考虑电子与磁场作用：,若 ，。,对 态，,设 ，,若 ，则 仍为 态。,八、自旋进动（续）,若 时为 态，,则,t,时处于 态的几率为：,可见在磁场作用下,原处于 的自旋产生转动而处于 的混和态，而且 以角频率,振荡，且 等于两态的能量差。类似可得,即自旋在,xy,平面内进动。,九、关联振幅和能量一时间测不准关系,态随时间变化仍保留原态成份的多少可用关联振幅描述：,1.,若 是,H,本征态。则 ，其模总为,1,。,2.,对一般 ，,由于振荡项的作用，一般 随时间而变小。,原则上，态消亡后仍有可能复活。,对准连续谱，为能量本征态的态密度，,，有 ，,其中 。,九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续）,3.,若初态近似为能量为 的本征态，能量展宽为 。,则 ，积分贡献主要来源于 。,即当时间大于特征时间 后，将与,1,有较大差别。可见对非能量本征态，当演化时间超过 时原态的特征便消失了,（,t,寿命,）,。,常被称为时间,-,能量测不准关系。,要注意的是，这种测不准关系与不兼容算符的测不准关系有本质的不同（时间是参量，不是算符。）,作业,1.32,1.33,，,2.1,2.2,周五（,9.28,）、周日（调自,10.5,）停课,