第五章 数列,第二节等差数列及其前,n,项和,命题分析预测,学科核心素养,本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前,n,项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题,本节通过对等差数列的通项公式及其前,n,项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养,知识点一等差数列的概念与通项,1,等差数列的概念,(1),如果一个数列从,第,_,项起，每一项与它的前一项的差等,于,_,_,_,，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列,的,_,，公差通常用字母,d,表示,数学语言表达式：,a,n,1,a,n,d,(,n,N,，,d,为常数,),，或,a,n,a,n,1,d,(,n,2,，,d,为常数,),2,同一个常数,公差,a,1,(,n,1),d,(,n,m,),d,要注意概念中的,“,从第,2,项起,”,如果一个数列不是从第,2,项起，而是从第,3,项或第,4,项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列,1,已知等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,1,2,，,a,8,a,10,28,，则,S,9,(,),A,36,B,72,C,144 D,288,B,D,3,设数列,a,n,是等差数列，其前,n,项和为,S,n,，若,a,6,2,且,S,5,30,，则,S,8,_,答案：,32,知识点二等差数列的性质,已,知数列,a,n,是等差数列，,S,n,是,a,n,的前,n,项和,(1),若,m,n,p,q,(,m,，,n,，,p,，,q,N,*,),，,则有,a,m,a,n,a,p,a,q,(2),等差数列,a,n,的单调性：当,d,0,时，,a,n,是,_,数列；,当,d,0,时，,a,n,是,_,数列；当,d,0,时，,a,n,是,_,递增,递减,常数列,1,(2021,吉林月考,),设,等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,S,4,8,，,S,8,20,，,则,a,13,a,14,a,15,a,16,(,),A,12,B,8,C,20,D,16,解析,：,S,4,，,S,8,S,4,，,S,12,S,8,，,S,16,S,12,成等差数列，,S,4,8,，,S,8,S,4,12,，,S,12,S,8,16,，,S,16,S,12,20,，即,a,13,a,14,a,15,a,16,20,C,2,在等差数列,a,n,中，若,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,450,，则,a,2,a,8,(,),A,180 B,90,C,270 D,360,解析,：由等差数列的性质，得,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,5,a,5,450,，所以,a,5,90,，所以,a,2,a,8,2,a,5,180,A,3,(,易错题,),已知等差数列,a,n,中，,|,a,3,|,|,a,9,|,，公差,d,0,，则使数列,a,n,的前,n,项和,S,n,取最大值的正整数,n,的值是,_,答案：,5,或,6,题型,一等差数列的基本问题,1,(2021,聊城期末测试,),已知,a,n,是公差为,2,的等差数列，前,5,项和,S,5,25,，若,a,2,m,15,，则,m,(,),A,4,B,6,C,7 D,8,A,2,(2021,西安调研,),已,知等差数列,a,n,前,9,项的和为,27,，,a,10,8,，则,a,100,(,),A,100 B,99,C,98 D,97,解析,：设,a,n,的首项为,a,1,，公差为,d,，则,S,9,9,a,1,36,d,9(,a,1,4,d,),27,，,a,1,4,d,3,又,a,10,a,1,9,d,8,，,a,1,1,，,d,1,a,100,a,1,99,d,98,C,3,(2019,高考全国卷,),记,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和已知,S,9,a,5,(1),若,a,3,4,，求,a,n,的通项公式；,(2),若,a,1,0,，求使得,S,n,a,n,的,n,的取值范围,解析：,(1),设,a,n,的公差为,d,由,S,9,a,5,得,a,1,4,d,0,由,a,3,4,得,a,1,2,d,4,于是,a,1,8,，,d,2,因此,a,n,的通项公式为,a,n,10,2,n,等差数列运算中方程思想的应用,(1),等差数列运算问题的一般求法是设出首项,a,1,和公差,d,，然后由通项公式或前,n,项和公式转化为方程,(,组,),求解,(2),等差数列的通项公式及前,n,项和公式，共涉及五个量,a,1,，,a,n,，,d,，,n,，,S,n,，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题,题型,二等差数列的性质及应用,1,在等差数列,a,n,中，,a,1,3,a,8,a,15,120,，则,2,a,9,a,10,的值是,(,),A,20,B,22,C,24 D,8,解析,：因为,a,1,3,a,8,a,15,5,a,8,120,，,所以,a,8,24,，所以,2,a,9,a,10,a,10,a,8,a,10,a,8,24,C,A,3,一个等差数列的前,12,项的和为,354,，前,12,项中偶数项的和与奇数项,的,和,的比为,32,27,，则该数列的公差,d,为,(,),A,10 B,5,C,4 D,8,解析,：设等差数列的前,12,项中奇数项的和为,S,奇,，偶数项的和为,S,偶,，等差数列的公差为,d,B,题型,三等差数列的判断与证明,题型,四等差数列前,n,项和的最值,例,记,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和，已知,a,1,7,，,S,3,15,(1),求,a,n,的通项公式；,(2),求,S,n,，并求,S,n,的最小值,解析,(1),设,a,n,的公差为,d,，由题意得,3,a,1,3,d,15,由,a,1,7,得,d,2,a,n,的通项公式为,a,n,a,1,(,n,1),d,2,n,9,B,等差数列,应用中的核心素养,(,一,),数学建模,等差数列中的数学文化问题,例,1,(2020,高考全国卷,),北,京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板,(,称为天心石,),，环绕天心石砌,9,块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加,9,块下一层的第一环比上一层的最后一环多,9,块，向外每环依次也增加,9,块已知每层环数相同，且下层比中层多,729,块，则三层共有扇面形石板,(,不含天心石,)(,),C,A,3 699,块,B,3 474,块,C,3 402,块,D,3 339,块,等差数列的数学文化题求解关键是阅读文化信息后建立等差数列的模型，再利用等差数列相关的知识进行求解,B,B,百度文库,VIP,特权福利,特权说明,服务特权,VIP,专享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用,VIP,专享文档下载特权下载或阅读完成,VIP,专享文档（部分,VIP,专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载,/,读完一篇,VIP,专享文档消耗一个,VIP,专享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,60,次,VIP,专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。,VIP,专享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,每月专享,9,次,VIP,专享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,共享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和,VIP,专享文档），每下载一篇共享文档消耗一个共享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,100,次共享文档下载特权，一次发放，全年内有效,赠送的共享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,赠送每月,15,次共享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,累积特权,在购买的,VIP,时长期间，下载特权不清零。,100W,优质文档免费下载,VIP,有效期内的用户可以免费下载,VIP,免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券,/,积分获取。,部分付费文档八折起,VIP,用户在购买精选付费文档时可享受,8,折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。,内容特权,0,下载券文档一键搜索,VIP,用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索,0,下载券文档，下载券不够用不再有压力！,无限次复制特权,VIP,有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容,文档格式转换,VIP,有效期内可以将,PDF,文档转换成,word,或,ppt,格式，一键转换，轻松编辑！,阅读页去广告,VIP,有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。,多端互通,VIP,有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。,其他特权,抽奖特权,开通,VIP,后可以在,VIP,福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！,福利特权,开通,VIP,后可在,VIP,福利专区定期领取多种福利礼券。,VIP,专享精彩活动,开通,VIP,后可以享受不定期的,VIP,优惠活动，活动多多，优惠多多。,VIP,专属身份标识,当您成为百度文库,VIP,后，您的专有身份标识将被点亮，随时随地彰显尊贵身份。,专属客服,VIP,专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服,QQ,：,800049878,VIP,礼包,百度阅读,VIP,精品版特权,享受阅读,VIP,精品版全部权益：,1.,海量精选书免费读,2.,热门好书抢先看,3.,独家精品资源,4.VIP,专属身份标识,5.,全站去广告,6.,名人书友圈,7.,三端同步,知识影响格局，格局决定命运！,有关等差数列的新定义问题的求解要紧扣定义信息转化为等差数列相关问题求解,C,百度文库,VIP,特权福利,特权说明,服务特权,VIP,专享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用,VIP,专享文档下载特权下载或阅读完成,VIP,专享文档（部分,VIP,专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载,/,读完一篇,VIP,专享文档消耗一个,VIP,专享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,60,次,VIP,专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。,VIP,专享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,每月专享,9,次,VIP,专享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,共享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和,VIP,专享文档），每下载一篇共享文档消耗一个共享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,100,次共享文档下载特权，一次发放，全年内有效,赠送的共享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,赠送每月,15,次共享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,累积特权,在购买的,VIP,时长期间，下载特权不清零。,100W,优质文档免费下载,VIP,有效期内的用户可以免费下载,VIP,免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券,/,积分获取。,部分付费文档八折起,VIP,用户在购买精选付费文档时可享受,8,折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。,内容特权,0,下载