2019/12/30,大学物理教研室,单击此处编辑母版标题样式,2024/11/17 21:40,5.3,单摆和复摆,5.3.1,单摆,O,l,mg,T,小球受力矩：,根据转动定律,:,化简得,:,为振动角位移,振幅为,0,单摆的振动是,简谐运动,.,结论：,2024/11/17,5.3.1,复摆,h,O,C,mg,J,刚体受力矩：,根据转动定律,:,化简得,:,复,摆的振动是,简谐运动,.,结论：,为振动角位移,振幅为,0,2024/11/17,5.4,简谐运动的能量,振子势能：,振子动能：,系统的,总能量,：,取振子在平衡位置时的势能为零,则：,2024/11/17,讨论：,(1),振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，,但任一时刻总机械能保持不变,.,(2),位移最大,势能最大,但动能最小,在振动曲线的峰,值,;,位移为,0,势能为,0,但动能最大,在振动曲线的,平衡位置,.,2024/11/17,5.5,简谐运动的合成,5.5.1,同方向、同频率的两个简谐运动的合成,1.,分振动,:,2.,合振动,:,2024/11/17,讨论,:,(1),若两分振动,同相,即,2,1,=,2,k,(,k,=0,1,2,),(2),若两分振动,反相,即,2,1,=,(2,k,+1),k,=0,1,2,),当,A,1,=,A,2,时,A,=0.,则,A,=,A,1,+,A,2,两分振动相互,加强,;,则,A,=|,A,1,-,A,2,|,两分振动相互,减弱,;,当,A,1,=,A,2,时,A,=2,A,1.,结论：,合振动,x,仍是简谐运动,.,2024/11/17,旋转矢量法处理简谐运动的合成,2024/11/17,两个同方向同频率简谐运动的合成演示,2024/11/17,例,:,两个同方向的简谐运动曲线,(,如图所示,),(1),合振动的振幅,;(2),合振动的振动方程,.,求,:,x,T,t,解,:,(1),t,=0,时，,故,:,互为反相,合振幅最小,(2),t,=0,时的旋转矢量图：,x,2024/11/17,例,:,两个同方向同频率的简谐运动,其合振动的振幅为,20cm,与第一个振动的相位差为,若第一,个振动的振幅为,.,(1),第二个振动的振幅为多少？,(2),两简谐运动的相位差为多少？,求,:,解,:,(1),依题意,根据余弦定理,:,(2),根据正弦定理,:,2024/11/17,5.5.2,同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍,1.,分振动,:,2.,合振动,:,当,时,当 时，,合振动振幅的频率为,:,A,有最大值,A,有最小值,结论：,合振动,x,不再是简谐运动,.,2024/11/17,当,2,1,时,2,-,1,2,+,1,令,其,中,随,t,缓变,随,t,快变,振幅相同不同频率的简谐运动的合成,2.,合振动,:,1.,分振动,:,合振动,x,可看作是振幅缓变的简谐运动,.,结论：,2024/11/17,x,x,2,x,1,t,t,t,拍频,:,单位时间内合振动振幅强弱变化的次数,，即,3.,拍的现象,O,O,O,2024/11/17,2024/11/17,*5.5.3,相互垂直的简谐运动的合成,1.,相互垂直的同频率简谐运动的合成,1),分振动,:,2),合运动,:,讨论,当 ,=,2,-,1,=,k,(,k,为整数,),时,:,当 ,=(2,k,+1)/2(,k,为整数,),时：,2024/11/17,=0,(,第一象限,),=,/2,=,=3,/2,(,第二象限,),(,第三象限,),（第四象限）,2024/11/17,两个,相互垂直的同频率简谐运动的合成,演示,2024/11/17,2.,相互垂直的不同频率简谐运动的合成,两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的,频率之比为整数,时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做,李萨如图,.,两个,相互垂直的不同频率简谐运动的合成,演示,2024/11/17,5.6,阻尼振动 受迫振动 共振,5.6.1,阻尼振动,O,x,x,为阻尼系数,由牛顿第二定律,:,称为,阻尼因子,动力学方程：,微分方程的特征方程为：,2024/11/17,1.,小阻尼情况,:,阻力很小,方程解：,周期,:,(2),阻尼越大，减幅越迅速,;,(1),阻尼较小时，振动为减幅,振动，振幅随时间按指数,规律,迅速减少,;,结论：,(3),振动周期大于自由振动周期,.,2024/11/17,2.,过阻尼情况：阻力很大,阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动,.,结论：,2024/11/17,此时为“临界阻尼”的情况，是质点不作往复运动的一个极限,.,3.,临界阻尼情况,:,结论：,2024/11/17,5.6.2,受迫振动 共振,1.,受迫振动,系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动,.,(1),策动力,:,周期性的外力,.,(2),振动规律,:,物体受力：,恢复力,+,阻力,+,策动力,O,x,x,由牛顿第二定律：,令：,2024/11/17,在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为,:,其中,:,第一项为,暂态项,，经过一段,时间以后趋向于零，,为积分常数，,由初始条件确定；,第二项为,稳定项,，,即,:,代入原方程求得,:,2024/11/17,(1),受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成,;,(2),经一段相当的时间后，阻,尼振动为零,;,(3),其,周期为,策动,力的周期,，振幅、初相位不仅与初,条件有关，而且与,策动,力,的频率和力幅有关,.,结论：,2024/11/17,2.,共振：,当策动力的频率接近于,固有频率,时，受迫振动的振幅达到最大值的现象,.,共振,频率：,共振,振幅：,共振频率,大阻尼,小阻尼,阻尼,阻尼系数,越小，共振角频率,越接近于系统的固有频率，同时共振振幅也越大,.,结论：,2024/11/17,2024/11/17,情景再现,1940,年,7,月,1,日，桥龄仅,4,个月的美国,Tocama,大桥在一场不算太强的大风中坍塌。风产生的周期性效果导致大桥共振，大桥在风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下,2024/11/17,第五章 机械振动 小结,5.1,简谐运动,5.2,简谐运动的旋转矢量表示法,5.3,单摆和复摆,5.4,振动的能量,5.5,简谐运动的合成,5.6,阻尼振动 受迫振动 共振,内容提要,2024/11/17,1.,振动表达式,2.,简谐运动的速度与加速度,3.,简谐运动方程中的三个,基本物理量,振幅：,初相位：,4.,振幅和初相位的求法,2024/11/17,5.,旋转矢量表示法,模,为简谐运动的,振幅,.,旋转矢量,角速度,为简谐运动的,角频率,.,与,x,轴,的夹角,(,t,+,),为简谐运动的,相位,.,t,=0,时，与,x,轴,的夹角,为,初相位,.,6.,单摆,7.,复摆,7.,简谐运动的能量,2024/11/17,8.,同方向、同频率的两个简谐运动的合成,9.,同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍,拍频,:,(1),若两分振动,同相,即,2,1,=,2,k,(,k,=0,1,2,),(2),若两分振动,反相,即,2,1,=,(2,k,+1),k,=0,1,2,),则,A,=,A,1,+,A,2,两分振动相互,加强,;,则,A,=|,A,1,-,A,2,|,两分振动相互,减弱,;,