单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、连续函数的运算法则,第八节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第二章,一、连续函数的运算法则 第八节二、初等函数的连续性 机动,定理2.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.连续单调递增 函数的反函数,定理3.,连续函数的复合函数是连续的.,在,内连续 单调 递增,其反函数,在,内也连续单调递增.,证:,设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.连续函数的复合函数是连续的.在内连续 单调 递增,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动 目,例如,指数函数,可看成由连续函数链,复合而成,因而指数函数,在,R,内连续.,由反函数的连续性知,对数函数,在其定义域,R,+,内亦连续.,例如,指数函数可看成由连续函数链复合而成,因而指数函数在,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四,在函数,f,连续的条件下,如果已知,f,(,x,)在点,x,0,连续,则给出了求极限的一种方法,这就是:,另外,在,f,连续的条件下,求复合函数极,限的公式可改写为,利用这个公式可以解决一系列极限计算问题.,在函数 f 连续的条件下,如果已知f(x)在点,例2.,求,解:,原式,例3.,求,解:,令,则,原式,说明:,当,时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求解:原式例3.求解:令则原式说明:,例4.,证明,例5:,求,例6.,求,例7:,求,例4.证明例5:求例6.求例7:求,例8.,求,解:,原式,说明:,若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求解:原式说明:若则有机动 目录 上页,等价地:,当,例9:,设,解:左边=,等价地:当例9:设解:左边=,例10.,设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x,=1,为第一类间断点.,在点,x,=1,不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x,内容小结,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,例11.,设函数,于,x,=0 处连续，且对任意实数,x,，有,证明,f,(,x,)是常数函数.,证明:,由条件,可以推出,由,x,的任意性即知：,f,(,x,)=,f,(0).,第十节 目录 上页 下页 返回 结束 例1,