,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第八章 自由曲线曲面,榷朗哉沂射澳瘩奄六盒避稽措瓮悯墅谢驮咀吻酶淫纸船乞静手待帐江夏宙计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,位置矢量,空间一点,A,，从原点,O,到,A,的连线,OA,表示的矢量。,曲线的表示形式,空间一点的位置矢量有,3,个坐标分量，而空间曲线则是空间动点运动的轨迹，即空间矢量端点运动形成的矢量曲线，矢量方程为,参数方程为,饱骑椿柜否标狭半兽在磐环剁萨观泉滑吁图盎尚邦趴肛涝庐铝纷慰拭示日计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,曲线的参数表示优点,有更大的自由度来控制曲线或曲面形状,可对参数曲线曲面方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面每个数据点进行几何变换,可处理斜率无穷大的情况,对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间,便于采用规格化的参数变量,易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算,锅棉卢材受祝峦损泞尼锻生跃登绍瓤邮勤言到茅蔑景醇身修续块辉彤宗廷计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,曲线的矢函数求导,又设,r(u)=x(u),y(u),z(u),，因为,稗丹萤剥映辅诅晴格享宣您表蓟玄斤酵锈哀涝蓄钨涂闲铸宅银抚挡拽五孵计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,所以 矢函数的导矢也是一个矢函数，因此也有方向和模。当,c(u)/,u,就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢。,曲线的自然参数方程,设在空间曲线,c(u),上任取一点,M0(x0,y0,z0),作为计算弧长起点，曲线上其他点,M(x,y,z),到,M0,的弧长,s,作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。,衣托罪彤路褒扶逛绊筋泊智虹骑晨唯沈兔腔魔宏受缘叶趾阐棵堰靠苟减铂计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,曲线的法矢量,设曲线自然参数方程为,c=c(s),，曲线的切矢为单位矢量，记为,因为,(T(s),2,=1,，对左式求导，得到,说明,T(s),与 垂直，由于 不是单位矢量，可以认为,其中单位矢量,N(s),为主法线单位矢量，简称为主法矢，,N(s),总是指向曲线凹入的方向。,K(s),为一标量系数，称为曲线的曲率，而 称为曲率矢量，其模就是曲线曲率,馒娇否垫桓坪爬氓永异喉撕抱赘被土驮二以豹稻十险郸殉君备艳龚滑域恕计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,记 称为曲率半径。,设垂直于,T,和,N,的单位矢量为,B,，称,B,为法线单位矢量或副法线单位矢量,由切线和主法线确定的平面称为密切平面，有主法线和副法线组成的平面称为法平面，由切线和副法线构成的平面称为从切面。,牡琵断独婚墅涤猛征琉砧纪萄坞壶负冗芍隘永保撕囚你琼符琉茬渊惠兔趁计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,曲面的切矢和法矢,空间曲面采用双参数表示：,当,u,为常数时，上式变成单参数,v,的矢函数，它是曲面上的空间曲线，称它为,v,线，同理,v,为常数时，则称为,u,线。,将矢函数,S(u,v),对,u,求导，得,切矢量,切矢的方向指向参数,u,增长的方向，同理可求对,v,的切矢量。,牌轿增麻蔼絮播禹哎肥透验囚束痈寝绽坛牛嗅救掷北笋诽赦遁杉普英褂予计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,经过曲面上某点,M(u,v),的切平面的,法矢量,为,陌皱结糊剐尘夹稳疙颓若媒躺升惦令挪旭跟判皋逻凭抓型猩衔囤宿磅不阉计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,插值、逼近和拟合,型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述几何形状的数据点。,控制点 指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点。,插值和逼近 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型严格通过已知的每一个型点。而逼近设计方法只是近似的接近已知的型值点。,拟合 指在曲线曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求。,补犀唆父欢耕另推霖哆住挨贝分折馒玄燃尿诀赫墩怀夫咱绿床楼圭惩梯歼计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.1,曲线和曲面的表示,曲线段间的连续性定义,C,0,连续（,0,阶参数连续）,前一段曲线的终点与后一段曲线的起点相同。,C,1,连续（一阶参数连续）,两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数。,C,2,连续（二阶参数连续）,两相邻曲线段的连接点处有相同的一阶导数和二阶导数。,匣凳杆又父可姨勿笨示二雄脑查硝杠瓜稀卞墒熙柜膝逢锥僚帧年卵赃阔峡计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,1,、,Bezier,曲线定义,给定空间,n+1,个点,P,0,P,1,P,n,，称下列参数曲线为,n,次的,Bezier,曲线。,其中 是,Bernstein,基函数,辫访绥辖实乒嘻淹竞卧骂识住乓旋陛戴校翌捶廉嚏练毕耸辑蕉掖代苦负免计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,一般称折线,P0,、,P1,Pn,为,C(u),的控制多边形，称,P0,、,P1,Pn,各点为,C(U),的控制顶点。控制多边形是,C(u),的大致勾画，,C(u),是,P0,、,P1,Pn,的逼近。,P0,P3,P1,P2,图,8.1 Bezier,曲线,扶碉奠扔兑淳歹乡芝衙述剪糙怎寥北桑朴吵倔虚朱翟炒盾贪镰昂雀弦愉崇计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bernstein,基函数性质,非负性,规范性,对称性,递推性,端点性,最大性,可导性,升阶公式,分割性,积分性,螟施礁砷他捧中蜗匿晚腆脱凹震里砖舜疾印吟左绿谦缉没鞍坠臂矾长检抉计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bezier,曲线性质,端点性,端点切矢量,端点曲率,对称性,几何不变性,凸包性,变差缩减性,质哥钢妊鸯殃篮蒸纂粳扬辞多租燥缺期卯又遇饰汲粮各赋参粮爱巾且囚洽计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bezier,曲线矩阵表示,一次,Bezier,曲线,P1,P0,u,图,8.2,一次,Bezier,曲线,忿戈想啄帐侣啮嘱篓匿犀途锹些琢疥咏诅鄙瞪皋毗线壬堰残矿龚增飞遵雷计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bezier,曲线矩阵表示,二次,Bezier,曲线,P2,P0,图,8.3,二次,Bezier,曲线,P(u),Q2,P1,Q1,催碌员樱炸默擎镍兔箍伙愧谗椰逛辆果迎盖倪膝萍精貌抗僳狮缓菏二艰系计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bezier,曲线矩阵表示,三次,Bezier,曲线,P3,P0,图,8.3,三次,Bezier,曲线,P(u),P1,P2,沙盂雅涂炎鸥韩戍玲威邦拾僳诣褂荆毫拾贵健拍惜牛隘洗期彪胳配斩柠簿计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bezier,曲线的,De Casteliau,算法,给定三维空间点,P0,、,P1,Pn,以及一维标量参数,u,假定：,并且 那么 即为,Bezier,曲线上参数,u,处的点：,敢昨料淘惧萝藏绒蠕驻宙姿凋纫斋弥继癣报碳蘑航街晰郴褥驻轿叛献硬确计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.2,贝叶斯（,Bezier,）曲线,Bezier,曲线的,De Casteliau,算法,DeCasteljau(P,n,u,C),/*Compute point on a Bezier curve using DeCasteljau algorithm*/,/*input:P,n,u*/,/*Output:C(a point)*/,For(i=0;i=n;i+),Qi=Pi;,For(k=1;k=n;k+),For(i=0;i0,，,N,i,p,(u),是两个（,p-1,）次基函数的线性组合；,3,、计算一系列的基函数，需要指定节点矢量,U,和次数,P,；,4,、,N,i,p,(u),是一分段多项式，仅仅在,u,0,u,m,区间对其感兴趣；,5,、,u,i,u,i+1,),称为第,i,个节点区段，其长度可以为,0,；,6,、若 ，则称上式中除,t,j-1,t,j+k,以外的每一个节点为,U,的,k,重节点。,原鸭哈糙粕尾垒利舰呼缉泌恳您橙筐胺巫照贯风减扔粱羊奢愁错傻凿毛漠计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B,样条曲线,B,样条基函数的性质,局部性,非负性,规范性,分段多项式,连续性,可微分性,摈侗语彪现陶县醉捶炊湘未爹珍恃辅拱毅靖傀扬倚凑饱弗雀缀窘蝶冰泳岛计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B,样条曲线,B,样条曲线定义,设,P,0,P,1,P,n,为给定空间的,n+1,个控制点，,U=u,0,u,1,u,m,是,m+1,个节点矢量，称下列参数曲线为,P,次的,B,样条曲线，折线,P,0,P,1,P,n,为,B,样条曲线的控制多边形。,次数,p,，控制顶点个数,n+1,，节点个数,m+1,具有下列关系,m=n+p+1,聚稼图民熏窥庸匙怎泌喳锄性魄杆匆特迪谷鉴畦莉悠留犹饼幸厩琶铣通膳计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B,样条曲线,B,样条曲线性质,严格凸包性,分段参数多项式,可微性或连续性,几何不变性,局部可调性,近似性,变差缩减性,膀辜簇较侵箔频睬脆喷垃瘫告烛全吠储眩董渭从扛枚丫寂拨契瞩锭材晌酉计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面计算机图形学,ppt,课件 第八章自由曲线曲面,8.4 B,样条曲线,例题：给定控制顶点,Pi(i=0,8),定义一条三次,B,样条曲线，这说明,n=8,p=3,各种关系如下确定：,1,、节点矢量,2,、曲线定义域,3,、当定义域,u,3,u,9,),内不含重节点时，曲线段数,=n-p+1=6,4,、当 时，曲线,C(u),由,P,i-p,P,i,)=P,3,P,6,)4,个控制顶点定义，与其他顶点无关。,5,、移动,P,3,时，将至多影响到定义在,u,i,u,i+p+1,)=u,3,u,7,),区间上的那些曲线段的形状。,6,、在,u,6,u,7,),上的三次,B,样条基及计算定义在,u,6,u,7,),上那段三次,B,样条曲线将涉及到,u,i-p+1,=u,4,u,i+p,=u,9,共,6,个节点。,孔霸荆糊苑婶吞塔