,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,上一页,下一页,主 页,返回,退出,3 平面曲线的弧长与曲率,平面曲线的弧长,11/17/2024,1,3 平面曲线的弧长与曲率平面曲线的弧长10/7/20231,定义:,若在弧,AB,上任意作内接折线,当折线段的最大,弦长|,T,|0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,并称此极限为曲线弧,AB,的弧,长，即,一、,平面曲线的弧长,则称曲线,C,是可求长的，,设曲线,C,=,AB,11/17/2024,2,定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大弦长,设平面曲线,C,由参数方程,给出，如果,在,连续，且,则称曲线,C,为光滑曲线,11/17/2024,3,设平面曲线 C 由参数方程给出，如果在连续，且则称曲线 C,设光滑曲线,C,由参数方程,给出，,则,C,是可求长的，且弧长为,定理10.1,11/17/2024,4,设光滑曲线 C 由参数方程给出，则 C 是可求长的，且弧长为,证,要证,因为,所以要证,11/17/2024,5,证要证因为所以要证10/7/20235,对,的任一分割,于是,11/17/2024,6,对的任一分割于是10/7/20236,下面证明：,11/17/2024,7,下面证明：10/7/20237,由第一章,1习题 6 可知,于是,11/17/2024,8,由第一章1习题 6 可知于是,10/7/20238,即,从而,11/17/2024,9,即从而10/7/20239,若曲线,C,由直角坐标方程给出,则,曲线,又,可用参数方程表示为,于是所求弧长为,11/17/2024,10,若曲线 C 由直角坐标方程给出则曲线又可用参数方程表示为于是,若曲线弧由极坐标方程给出,则曲线,又,可用参数方程表示为,由于,11/17/2024,11,若曲线弧由极坐标方程给出则曲线又可用参数方程表示为由于10/,则弧长为,11/17/2024,12,则弧长为10/7/202312,例1,.,计算摆线,一拱,的弧长.,解,因为,11/17/2024,13,例1.计算摆线一拱的弧长.解因为10/7/202313,例2.,两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,下垂成悬链线.,求从,x,=0,到,x,=,a,那一段的弧长.,悬链线方程为,解,因为,11/17/2024,14,例2.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,下垂成悬链,例3 求心形线,的周长,解,11/17/2024,15,例3 求心形线的周长解10/7/202315,例4.,求连续曲线段,解,的弧长.,因为,所以,11/17/2024,16,例4.求连续曲线段解的弧长.因为所以10/7/20231,设光滑曲线,C,则,表示曲线上由端点,到点,的弧长,因为被积函数连续，于是有,称弧长,s,(,t,)的微分 d,s,为弧微分,11/17/2024,17,设光滑曲线 C 则表示曲线上由端点到点的弧长因为被积函数连,如图，,PR,为曲线在点,P,处的切线，在直角三角形,PQR,中,，,PQ,为,d,x,QR,为,d,y,PR,则为,d,s,这个三,角形称为微分三角形,11/17/2024,18,如图，PR 为曲线在点 P 处的切线，在直角三角形,练习 求,阿基米德螺线,相应于 0,2,一段的弧长.,解,11/17/2024,19,练习 求阿基米德螺线 相应于 02 一段的弧长.,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,三,章,二、曲率及其计算公式,11/17/2024,20,曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动 目录,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点,M,开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点,M,处的曲率,注意:,直线上任意点处的曲率为 0!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,转角为,11/17/2024,21,二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,例5.,求半径为,R,的圆上任意点处的曲率.,解:,如图所示,可见:,R,愈小,则,K,愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R,愈大,则,K,愈小,圆弧弯曲得愈小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,22,例5.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率,K,的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,23,有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K 的计算公式二阶可,说明:,(1)若曲线由参数方程,给出,则,(2)若曲线方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,24,说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程,例6.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,处的曲率.,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,l,R,.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化,因此铁道的,曲率应连续变化.,11/17/2024,25,例6.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.说明:铁,例6.,我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且,l,R,.,处的曲率.,其中,R,是圆弧弯道的半径,l,是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,显然,11/17/2024,26,例6.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R.,例7.,求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K,最大,最小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求驻点:,11/17/2024,27,例7.求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K 最大最小机动,设,从而,K,取最大值.,这说明椭圆在点,处曲率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算驻点处的函数值:,最大.,11/17/2024,28,设从而 K 取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动 目录,三、曲率圆与曲率半径,设,M,为曲线,C,上任一点,在点,在曲线,把以,D,为中心,R,为半径的圆叫做曲线在点,M,处的,曲率圆,(密切圆),R,叫做,曲率半径,D,叫做,曲率中心,.,在点,M,处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M,处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点,D,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,29,三、曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点,在点在,设曲线方程为,且,求曲线上点,M,处的,曲率半径及曲率中心,设点,M,处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,30,设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处,由此可得曲率中心公式,(注意,与,异号),当点,M,(,x,y,)沿曲线,移动时,的轨迹,G,称为曲线,C,的,渐屈线,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线,C,称为曲线,G,的,渐伸线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,屈线的参数方程(参数为,x,).,点击图中任意点动画开始或暂停,11/17/2024,31,由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点 M(x,y),例8.,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨,削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?,解:,设椭圆方程为,由例3可知,椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小,且为,显然,砂轮半径不超过,时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.,例3 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,32,例8.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表,(仍为摆线),例9.,求摆线,的渐屈线方程.,解:,代入曲率中心公式,得,摆线 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,33,(仍为摆线)例9.求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率,摆线,半径为,a,的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停,其上定点,M,的轨迹即为摆线.,参数的几何意义,摆线的渐屈线,点击图中任意点动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,34,摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点,1弧微分,参数方程方程,极坐标方程,直角坐标方程,弧长,参数方程方程,极坐标方程,直角坐标方程,内容小结,11/17/2024,35,1弧微分参数方程方程极坐标方程直角坐标方程弧长参数方程方程极,内容小结,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,曲率中心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,36,内容小结2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心机动,思考与练习,1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答:,有公切线;,凹向一致;,曲率相同.,2.求双曲线,的曲率半径,R,并分析何处,R,最小?,解:,则,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/17/2024,37,思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:,阿基米德螺线,物理意义,动点,M,以常速,v,沿一射线运动,该射线又以定速,绕极点转动时,点,M,的轨迹即为阿基米德螺线,等距性,过极点的射线与曲线,间隔都是,它们之间的,11/17/2024,38,阿基米德螺线 物理意义动点 M 以常速 v 沿一射线运动,4 旋转曲面的面积,11/17/2024,39,4 旋转曲面的面积10/7/202339,设平面光滑曲线,求它绕,x,轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积,在,a,b,中任取小区间,x,x,+,x,，,位于此小区间上,的旋转面,侧面积为,一、,旋转曲面的面积,其中,11/17/2024,40,设平面光滑曲线求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积,由于,由,的连续性可以得到,所以有,从而旋转曲面的侧面积为,11/17/2024,41,由于由的连续性可以得到所以有从而旋转曲面的侧面积为10/7/,侧面积元素,注意,因为,不是,x,的高阶无穷小,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕,x,轴旋转一周所得旋转曲面的面积为,11/17/2024,42,侧面积元素注意因为不是x的高阶无穷小若光滑曲线由参数方程,若光滑曲线由极坐标方程,给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转曲面的面积为,11/17/2024,43,若光滑曲线由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转曲面的,例1.计算圆,上的弧段绕,x,轴旋转一周所得的球带的侧面积,S,解,应用公式得,当,x,1,R,x,2,R,时,得球的,表面积,对曲线,11/17/2024,44,例1.计算圆上的弧段绕 x 轴旋转一周所得的球带的侧面积,例2.求由内摆线,绕,x,轴旋转一周所得的旋转体的,表面积,S,解,利用对称性,11/17/2024,45,例2.求由内摆线绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的解利用对称,作业：p251#1(选2小题）p258#1(选1小题）,11/17/2024,46,作业：p251#1(选2小题）p25,