,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础,（4）污水管道的最小设计流速,污水管道的最小设计流速：当在设计充满度以下时为0.60m/s，非金属管道的最大设计流速为5m/s。,理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础（4）污水管道的最小设计流速,污水管道的最小设计流速：当在设计充满度以下时为0.60m/s，非金属管道的最大设计流速为5m/s。2021年8月7日2动力学普遍方程拉格朗日方程拉格朗日方程的首次积分,2024年11月17日,3,运用矢量力学分析非自由质点系，必然会遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否建立不含未知约束力的动力学方程？,将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述动力系统,。,2024年11月17日,4,一,.,方程的一般形式,动力学普遍方程或,达朗贝尔拉格朗日原理,理想约束，不论约束完整，定常与否均适用,9-1,动力学普遍方程,2.,直角坐标形式：,1.,矢量形式：,2024年11月17日,5,3.,广义坐标形式,设完整约束系统有,K,个自由度，可取 广义坐标,.,广义主动力,广义惯性力,注意,:,包含了惯性力虚功,!,2024年11月17日,6,例,1,图示为离心式调速器,已知：,m,1,m,2,l,求：,(,),的关系。,B,A,C,l,l,l,l,答：,m,1,g,m,2,g,m,1,g,2024年11月17日,7,例,2,已知,求,a,?,答,:,2024年11月17日,8,2024年11月17日,9,例,3,已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱柱加速度。,2024年11月17日,10,解,:,加惯性力，受力如图。,选 广义坐标。,由,有,即,(a),又由,有,2024年11月17日,11,式,(a),代入,(b),可得,令 时，牵连惯性力 并不为零；,令 时，相对惯性力 并不为零，,两者相互独立。,(b,),即,注意,:,2024年11月17日,12,例,4,均质圆柱,1,与,薄壁圆筒,2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒,(,绳与滑轮,A,的重量不计,),。已知,试求运动过程中轮心,C,与轮心,O,的加速度大小。,图,(a),2024年11月17日,13,图,(b),取两轮转角 为,广义坐标，其受力与运,动分析，如图,(b),所示，,令,，由,(a),有,(b),解,:,自由度,k,=2,2024年11月17日,14,将式,(a),及,代入,(b),式,，,得,(c),再令,由,有,联立,(c,),和,(d),式，可得,即,(d),图,(b),2024年11月17日,15,1.,本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件,?,2.,用动力学普遍定理如何求解,?,3.,计入滑轮,A,质量,结果有何变化,?,图,(b),思考,2024年11月17日,16,不便计算，拉格朗日方程利用两个经典,微分关系。将 能量化 从而导出拉氏,方程。,9-2,拉格朗日方程,对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为,1),“,同时消点,”,2),“,交换关系,”,（求导）,2024年11月17日,17,一、拉氏方程的一般形式,第二类拉氏方程，以,t,为自变量，为未知函数的二阶常微分方程组，,2k,个积分常量，须,2k,个初始条件,2024年11月17日,18,O,A,R,r,M,例,1,均质杆,O,A,质量为,m,1,、可绕轴,O,转动,大齿轮半径为,R,，,小,齿,轮,质量为,m,2,，半径为,r,，其上作用一常力偶,M,，设机构处于水平面。,求：该杆的运动方程。,答：,2024年11月17日,19,例,2,已知：,m,1,m,2,R,f,F,。,求：板的加速度,a,。,F,C,R,答：,O,x,x,2024年11月17日,20,解,:,本系统为完整约束，主动力非有,势，采用基本形式的拉氏方程求解。,例,.,如图所示，铰盘半径为,R,，转动惯量为,J,，,其上作用力偶矩为,M,的力偶，重物质量分别为,不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度,判断系统的自由度，,取广义坐标。,本题中，,，取,为广义坐标，,2024年11月17日,21,计算系统的,T,与,则有,2024年11月17日,22,代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。,代入,中，得,(a),代入,中，得,(b),解方程，求加速度。,，得,2024年11月17日,23,二、势力场中的拉氏方程,若主动力有势,则有,引入拉格朗日函数 注意到,2024年11月17日,24,例,.,图示两均质圆轮沿斜面纯滚，均质杆,AB,与两轮心铰接。已知,试求系统微振动微分方程及圆频率 。,2024年11月17日,25,，,代入拉氏方程,中，有,解,:,系统自由度为,1,。取轮心,B,沿斜面位移,x,为,广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意,x,位置时，,系统的拉氏函数,:,2024年11月17日,26,与简谐振动微分方程,对比可知,振动圆频率,即,为所求微分方程。,2024年11月17日,27,例,与刚度为,k,的弹簧,相连的滑块,A,，质量为,m,1,可在光滑水平面上滑动。,滑块,A,上又连一单摆，摆,长,l,，摆锤质量为,m,2,，试,列出该系统的运动微分方程。,答：,2024年11月17日,28,例,如图所示，物,A,重为,，物,B,重为,，弹簧,刚度系数为,k,，其,O,端固定于物,A,上，另一端与物,B,相连。系统由静止开始运动，不计摩擦与弹簧质量，,且弹簧在初瞬时无变形，试求运动中物,A,的加速度。,2024年11月17日,29,解：系统处于势力场中，自由度为,2,，取,A,的绝对位,移，,B,的相对位移,(,弹簧的绝对伸长量,),为广义坐标。,取系统的初始位置为零势能位置。在任意时刻,t,2024年11月17日,30,将以上各项代入下列拉氏方程,得,(a),(b),2024年11月17日,31,由式,(a),和式,(b),消去,，得,(c),其中,由式,(c),解得,由,时，,，得,故,(d),2024年11月17日,32,将式,(d),代入式,(c),，再将式,(c),和,(d),代入式,(b),得,率为,。,顺便指出，由式,(c),和,(d),可知，物,B,相对于物,A,作在常力作用下的简谐振动，其振幅为,，,固有频,2024年11月17日,33,思考：,本题中，,a),如何求,A,，,B,两物块所受光滑面的约束力,?,b),若初瞬时弹簧有一初始伸长,结果有何变化,?,c),试用质心运动定理和动能定理,求,解本例，并比,较各种方法特点。,2024年11月17日,34,9.3,拉格朗日方程的初积分,拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程,寻求其解析解通常是十分困难的。但,对于保守系统，,在某些条件下，可经首次积分降为一阶，,从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。,且具有明显的物理意义。,循环坐标,如果拉格朗日函数,L,中不显含某一广义坐标,q,r,则该坐标称为系统的循环坐标。,一、广义动量积分,保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、广义能量积分。,2024年11月17日,35,于是拉氏方程成为,称为循环积分,称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。,保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。,2024年11月17日,36,二,.,广义能量积分,广义能量积分,保守系统的拉格朗日函数不显含时间,t,时，保守系统的广义能量守恒。,当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒。,2024年11月17日,37,一个系统循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分；但能量积分只可能有一个。,循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。,2024年11月17日,38,例,质量为,m,半径为,r,的圆环在圆心,A,上铰接一长度为,l,质量亦为,m,的单摆,B,如图示。试就以下两种情况讨论其拉格朗日方程的初积分：（,1,）圆环作纯滑动；（,2,）圆环作纯滚动。,答：,(1),圆环作纯滑动,A,x,O,(2),圆环作纯滚动,2024年11月17日,39,例,均质轮与均质杆质量均为,m,，轮半径为,r,，,杆长,l,。若杆由水平静止释放，轮纯滚。,求,时,及,。,选,x,和,为广义坐标。,2024年11月17日,40,故有循环积分，常数,(,初始为,0),又,约束定常、完整、理想、且系统保守。,即,(b),x,方向广义动量守恒，并非系统,x,方向动量,守恒,。,故,常数,2024年11月17日,41,时,，,(a),，,(b),两式为,解之得,1.,若接触平面光滑,(,f,=0),，结果如何,?,2.,若左边连接一水平弹簧,(,k,),，结果又如何,?,3.,能否用动力学普遍定理求解,?,2024年11月17日,42,例,3,如图所示，质量为,m,，半径为,r,的匀质轮在,质量为 、半径为,R,的薄壁筒内无滑动地滚动，设,OC,与重力方向夹角为 ，起始 时系统静止。试求,运动中圆筒转角 与 的关系。,2024年11月17日,43,系统保守且约束完整、定常，自由度为,2,，,取 与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，由,，有 。,因,L,不含,(,为循环坐标,),，,故相应的广义动量守恒，,并考虑到 时，,设,O,为零势能位置，系统动势为,2024年11月17日,44,注：,此处利用拉氏方程的循环,积分，使问题求解大为简化。,即,对,t,积分，并注意到 时，,得,故,2024年11月17日,45,解出 和 ，再积分，,可得 和 的变化规律。,该系统机械能守恒，故有,T,+,V,=,常数，即,将此式与例中,(a),式联立，,思考：,如何求上述 和 的变化规律。,谢谢大家！,