,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学数学问题解题研究与实践,数学问题解题概述,湖南第一师范学院数理系 向正凡,1.,数学解题观,数学解题观即是一个人对数学解题所持的看法，以回答“解题的实质是什么？”数学解题观是数学解题理论中的一个基本问题，对一个训练有素的小学数学老师来说，形成一个正确、合理的解题观，这对于从较高角度认识解题过程、弄清题意本质是非常必要的，也只有这样，才会在解题观的基础上掌握解题规律、形成解题经验、提高解题能力。,陕西师范大学的罗增儒教授长期研究数学解题，有许多精辟的见解，其中解题坐标系就是很有名的例证，详见,数学解题引论,。,一、解题就是问题转换,美籍匈牙利数学家波利亚的数学解题观可以简单地概括成“问题转换”。他认为解题就是把问题转换成为一个等价的问题，把原问题化归为一个已经解决的问题，即问题的连续变换过程。,为了达到“问题转换”，波利亚在他的“怎样解题表”中，给出了一系列的提示语：把问题转换成一个等价的问题，把问题化归为一个已解决的问题，去考虑一个可能相关的问题，先解决一个更特殊的、或更一般的问题等等。,由此可见，在大数学家，数学教育家波利亚的眼里，解题的实质就是问题转换，问题转换的过程就是解题。波利亚的结论是“如果我们不用题目变更，几乎是不能有什么进展的”。,例,1,当,1991,和,1769,除以某一个自然数,n,时，余数分别为,2,和,1,，那么,n,最小是几？最大呢？,例,2,某人从甲地去往乙地，甲乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的时间间隔都相同，他发现每隔,6,分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔,12,分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，试求公共汽车发车的时间间隔。,二、解题就是给出原理序列,前苏联数学家弗里得曼在,怎样学会解数学题,一书中对数学解题的实质也进行了研究，他认为“数学解题，就是要找到一种一般数学原理（定义、公理、定理、定律、公式）的序列，把这些原理用于习题的条件或者条件的推论（解题的中间结果），得到习题所要的东西，即习题的解答”。,弗里得曼认为：“如果把解题过程理解为从开始得到习题到完全解完这道题的过程，那么这个过程显然不单是由叙述已经找到的解题组成的，而是由一系列的阶段组成的，叙述解题知识其中的一个阶段”，他把全过程分为八个阶段：,分析问题,作习题的图示,寻找解题的方法,进行解题,检验解题,讨论习题,陈述习题答案,分析解题,例,3,甲、乙两人分别从,A,、,B,两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为,32,，他们第一次相遇后，甲的速度提高了,20%,，乙的速度提高了,30%,，这样当甲到达,B,地时，乙离,A,地还有,14,千米，那么,A,、,B,两地的距离是多少千米？,例,4 A,、,B,两地相距,12km,，甲从,A,地到,B,地停半小时，又从,B,地返回,A,地；乙从,B,地到,A,地，在,A,地停留,40,分钟后，从,A,地回到,B,地。已知两人同时从,A,、,B,两地出发，经过,4,小时后，在他们各自返回的路上相遇，已知甲每小时比乙多走,1.5km,，求甲乙两人的速度。,三、数学解题就是连续化简,重庆师范学院数学系已故教授唐以荣先生是国内较早研究数学综合解题规律且富有成效的学者之一，他于,1982,年出版了,中学数学综合解题法新论,一书，明确提出了“解题过程的本质”这个问题，并经过潜心研究得出“连续化简”这一观点。,唐以荣教授指出：“解题的基本要求是有目的、有根据的联续化简，即在完全符合逻辑的前提下，把原题连续地化简成比较简单的题目，直到新的题目与原题的结论或条件产生明显的逻辑联系为止”，“解题的根本要求就是连续化简”。,例,5,在下面乘积算式中，所得结果各个数位上的数字和多少？,例,6,在某个月中，星期二的天数比星期三的天数多，星期一得天数比星期日的天数多，则这个月的,5,号是星期几？全月一共有多少天？,2.,解题过程的思维分析,解题的过程是思维的过程，其中既有逻辑思维，又有直觉思维；有分析与综合、抽象与概括、比较与分类，也有归纳与猜想、观察与尝试、想象与顿悟等，是一个极其复杂的思维过程。,一、“观察,联想,转化”解题“三部曲”,1.,观察是联想的基础，在观察中认识特征,.,观察是人们认识事物、增长知识的最基本的途径，是发现和解决问题的前提，只有全面、深入、正确的观察，去透过现象认识各种本质特征，才有可能联想到有关知识，制定解题策略，所以，解题应从观察入手。,观察应是积极的，有意识的，通过由整体到部分，再由部分到整体的观察，有意识地寻找各种特征、联系，从比较中发现问题，从变化中寻找特点，特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系。,2.,联想是转化的翅膀，在联想中寻找途径,人在活动之前常有所准备，进行着的活动也有一定的趋向性，活动的准备状态和活动的趋向性在心理学上称为定向，它影响着活动朝一定的方向进行。而定向是联想的结果。联想是暂时联系的复活，它反映了事物的相互联系，思维中经常通过联想，想到有关资料、原则，提供解决问题的可能。,数学解题的定向，取决于由观察问题的特征所做的相应的联想，即从问题的条件和结论出发，联想有关知识，从中寻找解题途径。,3.,转化是解题的途径，在转化中确定方案,从问题的具体特征，联想到有关知识后，解题就有了定向，这时需要朝这个方向努力，寻找转化关系，使问题应用联想的知识来解决，也就是在转化中确定方案。,例,7,试找出由,0,、,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,这七个数字组成的，没有重复数字的，能被,165,整除的最大的和最小的七位数。,二、解题思维过程的预见,数学解题是一种探索性思维。在,数学的发现,一书中，波利亚将其观点进一步发挥，对各个细节进行了具体的分析，认为探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜测，即做出某种预见。,通过动员与组织、分离与结合题中各种元素、回忆与辨认、以及重组与充实、构思等这一系列过程的连续进行，来预见问题的解，或解的某些特征，或部分答案的具体实现途径。,三、数学解题的思维监控,解题的成功与否，关键是思维的开通。这其中的思维监控起着“导航”、“调节”的作用，虽然有时在知识上没有问题，但思路上某处存在问题，陷于困境，或出现偏差，这是要及时反馈信息，克服思维定势，及时调整，提高解题行为的有效性和正确性。,数学解题中思维监控的作用，相当于“数学运算感受器”，对运算结果作出评价，它是一种认知监控。,例,9,一只手表比闹钟每小时快,30,秒，而这只闹钟每小时比标准时间慢,30,秒，手表比标准时间一昼夜相差几秒？,3.,数学解题的目的,解题历来是数学活动的中心，也是数学教学的重要内容，正如波利亚所说“掌握数学就是意味着善于解题”，把解题联系到掌握数学这一高度来认识。,从数学教育角度来认识和讨论解题意义的话，我们认为，数学解题的目的价值有三个方面：知识基础性、方法技能性、观念意识性，分别对应着认识论、方法论、世界观。,一、加深理解概念，巩固拓展知识,数学题是由数学概念等基础知识构成的，数学题的解答就是反复运用基础知识的过程，换言之，数学解题就是给出一个合理的知识链，所以，理解和掌握数学基础知识是数学解题的必要前提，而数学解题却是巩固数学基础知识的根本保证。解题的直接收益就是巩固基础知识，它是巩固基础知识的最好途径。,当然，解题不是数学基础知识的简单重复，也不是数学基础知识的简单累加，而需要理解和深化，需要知识选择和组合的艺术与智慧，需要综合性和灵活性运用知识的能力，还可以拓展知识，培养创新能力，这正是数学解题的价值。,例,10,、甲盒中放有,2009,个白球和,2010,个黑球，乙盒中放有足够多的黑球,.,现在每次从甲盒中任意取出两个球，若两球同色，则从乙盒中取出一个黑球放入甲盒；若两球异色，则将其中的白球再放回甲盒。那么，经过,4017,次操作后，甲盒中剩下几个球，各是什么颜色？,二、掌握数学方法，培养数学技能,解题不仅是数学知识反复运用的过程，同时又是数学方法反复运用和推进的过程，解题离不开数学方法，通过解题训练就可以达到掌握数学方法的目的，反之，数学方法的教学必须结合具体的内容来进行，渗透在解题教学之中。,数学技能与数学方法紧密相连，数学解题是培养数学技能的良好途径，并且数学技能通过数学解题能够反映出来。,例,11,将,1,、,2,、,3,138,这,138,个数排成一个圆圈，从,1,开始，留下,1,划去,2,，留下,3,划去,4,，留下,5,划去,6,，,这样依次留下一个划去一个，转圈一直划下去，最后留下的是哪个数？,三、领会数学思想，训练思维品质,解题过程无不蕴含着数学思想，解题的方法技巧是数学思想下的方法技巧，数学思想是解题活动的指导思想，比如数形结合的思想，分类讨论的思想，等价转换的思想，方程与函数的思想，集合与映射的思想等，这些都能用于指导解题行为。,解题的一个重要意义就是通过解题掌握数学思想，培养用数学思想方法来分析问题、解决问题的能力。,四、发展个性心理，形成科学精神,有过解题经历的人都体会到，解题不仅仅只是智力活动，同时也是意志的考验，解题需要情感、意志、毅力，因而通过解题可以培养学生的非智力因素，发展学生的个性心理，使之形成严谨、细致的个性，养成崇尚真理，实事求是、言必有理的态度，尤其是探索题，在探索求解的过程中充分体现出培养思维品质和个性品质的双重价值。,例,12,甲、乙、丙、丁四人进行一次赛跑，最后分出了高低。但这四人都是出了名的撒谎者，他们所说的赛跑结果是：,甲：,（,1,）我刚好在乙之前到达；（,2,）我不是第一名,乙：,（,3,）我刚好在丙之前到达；（,4,）我不是第二名,丙：,（,5,）我刚好在丁之前到达；（,6,）我不是第三名,丁：,（,7,）我刚好在甲之前到达；（,8,）我不是第四名,现已知上面这些话中只有两句是真话，而且取得第一名的那个人至少说了一句真话，则这四人获得第一名的是（）,A,、甲,B,、乙,C,、丙,D,、丁,