,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相似矩阵与方阵可对角化的条件,4.3,相似矩阵与方阵可对角化的条件 4.3,4.3.1,相似矩阵的概念,定义,设 都是 阶方阵，若存在一个 阶,可逆矩阵 使,则称矩阵 与,相似,或称 是 的,相似矩阵,，,称 为由 到 的,相似变换矩阵,或,过渡矩阵,，,运算 称为对,进行相似变换,.,相似则等价，即相似关系是一种等价关系,.,4.3.1 相似矩阵的概念定义设 都是,例,设,可逆，令,计算,并判断 与它们是否相似,.,解,例 设 可逆，令计算并判断 与它们是否相似.解,由定义，与 相似，与 也相似,.,由此可知，与 相似的矩阵不是唯一的，也未必,是对角阵，但可以适当选取 使 成为对角阵,.,由定义，与 相似，与 也相似.由此可知，,相似矩阵的性质,（,1,）反身性：与 相似,.,（,3,）传递性：若 与 相似，与 相似，则,与 相似,.,（,2,）对称性：若 与 相似，则 与 相似,.,相似矩阵的性质（1）反身性：与 相似.（3）传递性,（,4,）若 与 相似，则,（,5,）若 与 相似，且 可逆，则 也可逆，且,与 相似,.,（4）若 与 相似，则（5）若 与 相似，且,（,6,）若 与 相似，则 与 相似，的多项式,也相似,.,则,其中,特别地，若 取对角矩阵,（6）若 与 相似，则 与 相似，,（,7,）若 与 相似，则 与 相似,.,定理,相似矩阵的特征多项式相同，从而特征值相同,.,（7）若 与 相似，则 与,推论,若 阶方阵 与对角阵,相似，则 为 的 个特征值，且若,是方阵 的特征多项式，则有,证明,因为 与对角阵 相似，而 是,的 个特征值，由定理，的 个特征值也应该是,同时，它们也是 的特征方程,的解，因此有,推论 若 阶方阵 与对角阵相似，则,由相似的定义，存在可逆矩阵 使,即,由相似矩阵的性质可知,由相似的定义，存在可逆矩阵 使即由相似矩阵的性质可知,4.3.2,方阵可对角化的充要条件,证明,可相似对角化,.,若方阵 可以与一个对角阵相似，则称,定理,阶方阵 可对角化的充要条件是 有,个线性无关的特征向量,.,必要性,若方阵 可对角化，则存在可逆,矩阵 使对角阵 则,令,4.3.2 方阵可对角化的充要条件证明可相似对角化.若方阵,则 可写成,从而有,于是有,则 可写成从而有于是有,由于 可逆，知 线性无关，即,有 个线性无关的特征向量,必要性,设 有 个线性无关的特征向量,其对应的特征值分别为,即,取,则 可逆且,由于 可逆，知 线,所以,表明 与对角矩 相似,.,所以表明 与对角矩 相似.,说明,推论,如果 阶矩阵 的 个特征值互不相同，,则 与对角阵相似，即 可相似对角化,.,（,1,）当 可对角化时，使其与 相似的,可逆矩阵 的列向量 是对角阵上的对角元素,（特征值）的特征向量,.,说明推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相同，则,（,2,）,如果 的特征方程有重根，此时不一定有,还是能对角化,对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，,个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能,（2）如果 的特征方程有重根，此时不一定有 还是能对角化,例,判断下列矩阵是否相似于对角矩阵？,解,若相似，则求出可逆矩阵 使 是对角阵,.,（,1,）求特征值：,例 判断下列矩阵是否相似于对角矩阵？解若相似，则求出可,故 的特征值为,且 不相似,于对角矩阵,.,若不然，如果 相似于对角阵 则,有可逆阵 使,就是单位阵，,从而,这显然是错误的，所以,不相似于对角阵,.,故 的特征值为且 不相似于对角矩阵.若不然，如果,（,1,）求特征值：,故 的特征值为,再求特征向量：,当 时，解方程组 由,（1）求特征值：故 的特征值为再求特征向量：当,得基础解系为,特征向量为,所以对应于 的全部,取一个特征向量,得基础解系为特征向量为所以对应于 的全部取,当 时，解方程组 由,所以对应于,的全部特征向量为,得基础解系为,（为不同时为零的实数）,.,当 时，解方程组,取两个特征向量,由 线性无关，知 与对角阵相似,.,取,取两个特征向量由 线性无关，知,则 可逆，且有,矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置,要相互对应,则 可逆，且有矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位,