单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,ESC,3.2,极值的几何应用,最大值与最小值的定义,或,设函数 在区间 上,若,则称 是函数 在区间,或,分别记作,上的最大值或最小值,且对该区间内一切,有,由最大值与最小值的定义知,最大值与最小值统称最值,.,ESC,3.2,极值的几何应用,极值,1.,函数的极值是仅就函数,有定义的区间内某,一点 的邻近,即在局部范,围内比较函数值的大小,故,2.,一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小值,.,3.,极值只能在区间内部取得,.,1.,而函数的最值是函数,在所考察的区间上比较函数值的大小,故,必有,2.,一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最小值,.,3.,最值可在区间内部取得,也可在区间端点处取得,.,区别,最值,若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找,.,特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况,:,联系,3.2,极值的几何应用,若函数 在区间 内仅有一个极大值而没有极小值,则该极大值就是函数在该区间内的最大值,.,若函数 在区间 内仅有一个极小值而没有极大值,则该极小值就是函数在该区间内的最小值,.,极大值,最大值,极小值,最小值,ESC,ESC,(1),分析问题,建立目标函数,:,解最大值与最小值实际应用问题的程序,3.2,极值的几何应用,(3),作出结论,:,按实际问题,的要求给出,结论,.,在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量,.,一般地,是把,问题的目标,即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变,量,建立二者的函数关系,即目标函数,并确定该函数的定义域,;,(2),解极值问题,:,应用极值知识,求目标函数的,最大值或最小值,;,3.2,极值的几何应用,ESC,案 例,一块边长为,24cm,的正方形纸板,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方盒,.,问截掉的小正方形边长为多少时时,能得到一个容积最大的方盒,?,最大容积是多少,?,该案例是在资源一定的情况下,即纸板的大小给定,要求效益最佳的问题,即要使方盒的容积最大,.,解案例,(1),分析问题,建立目标函数,按题目的要求,在纸板大小给定的条件下,要使方盒的容积最大是我们的目标,.,而方盒的容积依赖于截掉的小正方形的边长,.,这样,目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系,.,3.2,极值的几何应用,ESC,解案例,(1),分析问题,建立目标函数,设截掉的小正方形的边长为,则方盒底的边长为,(2),解极大值问题,确定的取值,以使方盒的容积取最大值,.,令,得驻点 和,(,舍,).,由此知,截掉的小正方形的边长最长为,12cm.,若以 表示方盒的容积,则 与 的函数关系为,3.2,极值的几何应用,ESC,解案例,(,续,),(2),解极大值问题,因为当 时,所以 是极大值点,.,由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取最大值的点,.,(3),结论,当截掉的小正方形边长,cm,时,方盒容积 最大,最大容积为,(cm,3,).,当 时,ESC,解,练习,3.2,极值的几何应用,这是容积一定,要求用料最省,即在效益一定的情况下,要求所消耗的资源最少的问题,.,(1),分析问题,建立目标函数,贮油桶的容积一定,要求用料最省,这实际上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标,.,而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度,.,由于圆柱形贮油桶的体积,(,容积,),已知,则侧面高度可用底半径来表示,:,设圆柱形贮油桶的底半径为,其侧面高度为,则由,即,要设计一个容积为,54 m,3,的有盖圆柱形贮油桶,问底半径为多少时,用料最省,?,得,ESC,解练习,(,续,),3.2,极值的几何应用,因贮油桶的上盖和下底面积都是,侧面积是,若以 表示贮油桶的表面积,则目标函数为,(2),解极小值问题,因,由,得驻点,ESC,解练习,(,续,),3.2,极值的几何应用,(2),由,得驻点,又,当 时,由于在区间 内只有一个极值点,且是极小值点,这就是取最小值的点,所以 是极小值点,.,当 时,(3),结论,当贮油桶的底半径,m,时,所设计的圆柱形贮油桶用料最省,.,