单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、孤立奇点的概念,定义,如果,函数,在,不解析,但,在,的某一去心邻域,内处处解析,则称,为,的孤立奇点,.,例,1,是函数,的孤立奇点.,是函数,的孤立奇点.,注意:,孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤,立奇点.,1,一、孤立奇点的概念定义 如果函数在 不解析,但在的,例2,指出函数,在点,的奇点特性.,解,即在,的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为,总有,不是孤立奇点.,所以,2,例2 指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,孤立奇点的分类,依据,在其孤立奇点,的去心邻域,内的洛朗级数的情况分为三类:,1,可去奇点,1可去奇点;2极点;3本性奇点.,如果洛朗级数中不含,的负幂项,那末孤立奇点,称为,的可去奇点,.,1)定义,3,孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分,其和函数,为在,解析的函数.,说明,:(1),(2),无论,在,是否有定义,补充定义,则函数,在,解析.,4,其和函数为在解析的函数.说明:(1)(2)无论在是否有定,2),可去奇点的判定,(1),由定义判断,:,的洛朗级数无负,在,如果,幂项则,为,的可去奇点,.,(2),判断极限,若极限存在且为有限值,则,为,的可去奇点,.,5,2)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在,如果补充定义:,时,那末,在,解析.,例,3,中不含负幂项,是,的可去奇点.,6,如果补充定义:时,那末在解析.例3 中不含负幂项,是的可去奇,例,4 说明,为,的可去奇点.,解,所以,为,的可去奇点.,无负幂项,另解,的可去奇点.,为,7,例4 说明为的可去奇点.解 所以为的可去奇点.无负幂项另解,2.,极点,其中关于,的最高幂为,即,级极点,.,那末孤立奇点,称为函数,的,或写成,1),定义,如果洛朗级数中只有有限多个,的,负幂项,8,2.极点 其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数,说明,:,1.,2.,特点:,(1),(2),的极点,则,为函数,如果,例5,有理分式函数,是二级极点,是一级极点.,9,说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为函数如果例5,2),极点的判定方法,的负幂项为有,的洛朗展开式中含有,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1),由定义判别,(2),由定义的等价形式判别,(3),利用极限,判断,.,10,2)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点,本性奇点,3.,如果洛朗级数中,含有无穷多个,那末孤立奇点,称为,的本性奇点,.,的负幂项,例如，,含有无穷多个,z,的负幂项,特点:,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,同时,不存在.,11,本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m,级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为,有限值,不存在,且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有限个负幂项,关于,的最高幂,为,12,综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且,二、函数的零点与极点的关系,1.,零点的定义,不恒等于零的解析函数,如果,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,那末,称为,的,m,级零点,.,例6,注意:,不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.,13,二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数,2.,零点的判定,零点的充要条件是,证,(必要性),由定义:,设,的泰勒展开式为:,如果,在,解析,那末,为,的,级,如果,为,的,级零点,14,2.零点的判定零点的充要条件是证 (必要性)由定义:设的,其中,展开式的前,m,项系数都为零,由泰勒级数的系数,公式知:,并且,充分性证明略.,15,其中展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:并且,(1)由于,知,是,的一级零点.,课堂练习,是五级零点,是二级零点.,知,是,的一级零点.,解,(2)由于,答案,例,7 求以下函数的零点及级数:,(1),(2),的零点及级数.,求,16,(1)由于知是的一级零点.课堂练习是五级零点,是二级零点.,3.零点与极点的关系,证,17,3.零点与极点的关系证17,18,18,说明,此定理为判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法.,例,8,函数,有些什么奇点,如果是极点,指出,它的级.,解,函数的奇点是使,的点,这些奇点是,是孤立奇点.,的一级极点.,即,19,说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8,解,解析且,所以,不是二级极点,而是一级极点.,是,的几级极点?,思考,例,9,问,是,的二级极点吗?,注意,:不能以函数的表面形式作出结论.,20,解 解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点?思,三、函数在无穷远点的性态,1.,定义,如果函数,在无穷远点,的去心,邻域,内解析,则称点,为,的孤,立奇点,.,R,x,y,o,21,三、函数在无穷远点的性态1.定义如果函数在无穷远点的去心邻,令变换,规定此变换将:,映射为,扩充,z,平面,扩充,t,平面,映射为,映射为,映射为,22,令变换规定此变换将:映射为扩充 z 平面扩充 t 平面映射为,结论,:,在去心邻域,内对函数,的研究,在去心邻域,内对函数,的研究,因为,在去心邻域,内是解析的,所以,是,的孤立奇点.,规定,:,m,级奇点或本性奇点.,的可去奇点、,m,级奇点或,本性奇点,如果,t=,0,是,是,的可去奇点、,那末就称点,23,结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为,1)不含正幂项;,2)含有有限多的正幂项且,为最高正幂;,3)含有无穷多的正幂项;,那末,是,的,1)可去奇点;,2),m,级极点;,3)本性奇点.,判别法1(利用洛朗级数的特点),2.,判别方法,:,在,内的洛朗级数中:,如果,24,1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有,例10 (1)函数,在圆环域,内的洛朗展开式为:,不含正幂项,所以,是,的可去奇点.,(2)函数,含有正幂项且,z,为最高正,幂项,所以,是,的,m,级极点,.,25,例10 (1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以,(3)函数,的展开式:,含有无穷多的正幂项,所以,是,的本性奇点.,课堂练习,的奇点及其,类型.,说出函数,答案,26,(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂,判别法,2:(,利用极限特点,),如果极限,1)存在且为有限值;,2)无穷大;,3)不存在且不为无穷大;,那末,是,的,1)可去奇点;,2),m,级极点;,3)本性奇点.,27,判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;,例,11 函数,在扩充复平面内,有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.,解,函数,除点,外,所以这些点都是,的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是,的三级极点.,内解析.,在,28,例11 函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,所以,那末,是,的可去奇点.,29,所以那末是的可去奇点.29,不是,的孤立奇点.,所以,30,不是的孤立奇点.所以30,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,31,思考题答案放映结束，按Esc退出.31,